如何将离散褶积计算改写成矩阵形式
时间: 2023-05-18 21:05:28 浏览: 57
离散褶积计算可以表示为:
$$
y[n] = \sum_{k=0}^{M-1} h[k]x[n-k]
$$
其中,$x[n]$ 是输入信号,$h[k]$ 是离散时间域的卷积核,$y[n]$ 是输出信号。
将其改写成矩阵形式,可以将 $x[n]$ 和 $h[k]$ 分别表示为列向量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{h}$,则输出信号 $y[n]$ 可以表示为:
$$
\mathbf{y} = \mathbf{Xh}
$$
其中,$\mathbf{X}$ 是 Toeplitz 矩阵,表示为:
$$
\mathbf{X} = \begin{bmatrix}
x[0] & 0 & \cdots & 0 \\
x[1] & x[0] & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x[N-1] & x[N-2] & \cdots & x[N-M]
\end{bmatrix}
$$
$\mathbf{h}$ 是列向量,表示为:
$$
\mathbf{h} = \begin{bmatrix}
h[0] \\
h[1] \\
\vdots \\
h[M-1]
\end{bmatrix}
$$
因此,离散褶积计算可以改写为矩阵形式:
$$
\mathbf{y} = \mathbf{Xh} = \begin{bmatrix}
x[0] & 0 & \cdots & 0 \\
x[1] & x[0] & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x[N-1] & x[N-2] & \cdots & x[N-M]
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
h[0] \\
h[1] \\
\vdots \\
h[M-1]
\end{bmatrix}
$$
这种矩阵形式的离散褶积计算可以使用矩阵乘法进行高效计算。