a>0 , b>0,2a+b=2,求b/a+1/ b的最小值
时间: 2024-05-25 17:14:52 浏览: 13
根据题意可以列出以下等式:
2a + b = 2
将 b 移项可得:
b = 2 - 2a
将其代入 b/a + 1/b 中,得:
b/a + 1/b = (2-2a)/a + 1/(2-2a)
通分并化简,得:
b/a + 1/b = (4-3a)/(2a^2 - 2a)
令 y = b/a + 1/b,则有:
y = (4-3a)/(2a^2 - 2a)
对 y 求导数并令其等于 0,可得 y 的最小值出现在:
a = 2/3
将 a = 2/3 代入原式中,得:
b/a + 1/b = (4-3(2/3))/(2(2/3)^2 - 2(2/3)) = 3/2
因此,b/a + 1/b 的最小值为 3/2,当且仅当 a = 2/3 时取得。
相关问题
a>0, b>0,2a+b=2,求b/a+1/ b的最小值
根据题目条件,可以得到 $b=2-2a$,将其代入目标函数中,得到:
$$
\frac{b}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2-2a}{a}+\frac{1}{2-2a}=\frac{4-3a}{2a-2a^2}
$$
为了求出最小值,可以对目标函数求导数并令其为 0:
$$
\frac{d}{da}\left(\frac{4-3a}{2a-2a^2}\right)=\frac{6a^2-8a+2}{(a-1)^2(2a-2a^2)^2}=0
$$
解得 $a=\frac{2}{3}$ 或 $a=1$,但是当 $a=1$ 时,原式的分母为 0,因此不可取,只能取 $a=\frac{2}{3}$,此时 $b=2-2a=\frac{2}{3}$,所以:
$$
\frac{b}{a}+\frac{1}{b}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}
$$
所以最小值为 $\frac{5}{2}$。
a>0,b>0时,求(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值
首先,我们可以对于给定的式子进行展开:
(b+2)^2/a + (a+2)^2/b = b^2/a + 4b/a + 4 + a^2/b + 4a/b + 4
接下来,我们可以将式子中的两个分式合并,并且利用均值不等式(AM-GM inequality)求解最小值。
(b^2/a + a^2/b)/2 >= sqrt(b^2/a * a^2/b) = 2
因此,b^2/a + a^2/b >= 4
同时,我们可以观察到,当 b/a = 2,a/b = 1/2 时,上述不等式取到等号。
因此,当 b/a = 2,a/b = 1/2 时,原式的最小值为:
b^2/a + a^2/b + 8 = 2b^2/a + 2a^2/b + 4 + 4b/a + 4a/b
= (b/a + a/b)(2b/a + 2a/b) + 4(b/a + a/b) + 4
= 10 + 4 * (b/a + a/b)
因此,最小值为 18。当且仅当 b/a = 2,a/b = 1/2 时,原式取得最小值。