(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值

我们可以使用均值不等式来解决这个问题。

首先，根据均值不等式的形式，我们需要将式子中的两个分式的分母变成相同的数。为此，我们可以使用最小公倍数 LCM(a, b)。

因此，我们有：

(b+2)^2 / a + (a+2)^2 / b
= [(b+2)^2 * b + (a+2)^2 * a] / ab

我们现在需要求出上面式子的最小值。

下一步，我们可以展开分子：

[(b+2)^2 * b + (a+2)^2 * a] / ab
= (b^3 + 4b^2 + 4b + a^3 + 4a^2 + 4a) / ab
= (b^3 + a^3 + 4b^2 + 4a^2 + 4b + 4a) / ab

现在，我们可以将分子拆分成两个部分并应用 AM-GM 不等式：

(b^3 + a^3 + 4b^2 + 4a^2 + 4b + 4a) / ab
= [(b^3 + a^3) / 2 + 2b^2 + 2a^2 + 2b + 2a] / ab
>= [(3b)^{1/3} * (3a)^{1/3} * 2^2 / 2 + 2 * 2^2 / 2] / ab
= (6(ab)^{2/3} + 8) / ab

因此，原始式子的最小值为 `(6(ab)^{2/3} + 8) / ab`。

注意到在 AM-GM 不等式的证明中，当且仅当每个数相等时等号成立。因此，当 `(b^3 + a^3) / 2 = 2b^2 = 2a^2 = 2b = 2a` 时，等号成立。这意味着 `a = b = 2` 时，原始式子的最小值为 `5`。