已知a>0,b>0求(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值

根据柯西不等式，有：
$$(b+2)^2/a+(a+2)^2/b\geq [(b+2)\sqrt{2}+2\sqrt{a}]^2/(a+b)+[(a+2)\sqrt{2}+2\sqrt{b}]^2/(a+b)$$
$$=[(b+2)\sqrt{2}+2\sqrt{a}]^2+[(a+2)\sqrt{2}+2\sqrt{b}]^2)/(a+b)$$
$$=a+b+4+2\sqrt{2}(a+b+4)$$
因此，当$a+b=4/\sqrt{2}$时，取等号，最小值为$4+8\sqrt{2}$。

相关问题

已知a>0,b>0.求(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值

### 回答1：
根据均值不等式，有
$$\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b} \geq \frac{[(b+2)\sqrt{\frac{1}{a}}+(a+2)\sqrt{\frac{1}{b}}]^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
化简得
$$\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b} \geq \frac{(a+b+4)^2}{\frac{a+b}{ab}}=4(ab+a+b)+\frac{16}{ab}+16$$
由于$a,b>0$，故当$ab=4$时，$\frac{16}{ab}=4$取得最小值。所以原式的最小值为$4(a+b)+4\sqrt{ab}+16$，当且仅当$a=2,b=2$时取得最小值，即答案为$4\times 2+4\times 2+16=32$。

### 回答2：
要求表达式的最小值，可以通过数学方法求解。

已知的表达式为：(b^2)^2/a * (a^2)^2/b

我们可以对该表达式进行化简：

(b^2)^2/a * (a^2)^2/b = (b^4/a) * (a^4/b) = b^4 * a^4 / (a*b)

再进一步化简得：(b^4 * a^4) / (a*b) = (b^3 * a^3)

由于a>0，b>0，所以b^3 * a^3 也一定大于0。

根据数学原理，一个非负的平方数的最小值为0，即在表达式中，最小值为0。

所以，(b^2)^2/a * (a^2)^2/b的最小值为0。

### 回答3：
要求最小值，意味着要找到一个使得表达式$(b^2)^2/a(a^2)^2/b$取得最小值的条件。

根据不等式的性质，当且仅当两个比值相等时，它们的商取得最小值。换言之，要使得表达式取得最小值，则需要满足$b^2/a=a^2/b$。

可以通过将等式进行变形，得到$b^4=a^4$。这意味着$b$和$a$的平方根必须相等。由于$a>0$和$b>0$，所以可以得到$b=a$。

将$b=a$代入到原始表达式中，得到$(a^2)^2/a(a^2)^2/a=a^2/a=1$。

因此，当$b=a$时，原始表达式的最小值为1。

综上所述，最小值为1。

已知a>0，b>0，用均值不等式求解(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值

根据均值不等式，有算术平均数大于等于几何平均数，即：

$\frac{a_1+a_2}{2} \geq \sqrt{a_1a_2}$

对于两个正实数 $x$ 和 $y$，我们可以将 $(x+2)^2$ 和 $(y+2)^2$ 分别拆分成 $x^2+4x+4$ 和 $y^2+4y+4$，然后应用均值不等式：

$\frac{(x^2+4x+4)+(y^2+4y+4)}{2} \geq \sqrt{(x^2+4x+4)(y^2+4y+4)}$

化简可得：

$x^2y^2+4(x^2+y^2)+8(xy+x+y)+32 \geq 16xy+32(x+y)+32$

移项并合并同类项，可得：

$\frac{(x+2)^2}{y}+\frac{(y+2)^2}{x} \geq 16$

因此，原式的最小值为 $16$，当且仅当 $x=y=2$ 时取得最小值。