a>0,b>0时,求(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值
时间: 2023-08-31 13:35:26 浏览: 90
### 回答1:
根据均值不等式(AM-GM不等式),有:
$$\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{(b+2)^2}{a} \cdot \frac{(a+2)^2}{b}}$$
又因为:
$$(b+2)^2 = (b+1)^2 + 4(b+1) + 4 \geqslant 4\sqrt[4]{(b+1)^2 \cdot 4(b+1) \cdot 4} = 8\sqrt[4]{2}(b+1)$$
$$(a+2)^2 = (a+1)^2 + 4(a+1) + 4 \geqslant 4\sqrt[4]{(a+1)^2 \cdot 4(a+1) \cdot 4} = 8\sqrt[4]{2}(a+1)$$
因此:
$$\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{(b+2)^2}{a} \cdot \frac{(a+2)^2}{b}} \geqslant 2\sqrt{8\sqrt[4]{2}(a+1) \cdot 8\sqrt[4]{2}(b+1)} = 32\sqrt[4]{2}$$
当且仅当 $\frac{(b+2)^2}{a} = \frac{(a+2)^2}{b}$ 时,等号成立,此时有 $a=b=2\sqrt[4]{2}-1$。
因此,原式的最小值为 $32\sqrt[4]{2}$。
### 回答2:
要求解一个表达式的最小值,可以考虑使用一些数学方法来求解,如求导等。对于给定的表达式,我们可以使用简单的代数运算来进行化简。将分式扩展为乘法,并把指数表达式按照指数的乘法法则进行展开,化简为如下形式:
(b^2)^2 * (a^2)^2 = b^4 * a^4
(a^2)^2 * (b^2)^2 = a^4 * b^4
要求解 b^4 * a^4 / a^4 * b^4的最小值,由于a和b都是大于0的正数,所以a^4和 b^4都大于0。分子和分母互相抵消,最终得到的结果为1。
所以,(b^2)^2/a * (a^2)^2/b 的最小值为1。
### 回答3:
首先,我们对给定的表达式进行化简:
(b^2)^2/a * (a^2)^2/b = b^4/a * a^4/b = a^4 * b^4 / (a * b) = a^(4-1) * b^(4-1) = a^3 * b^3。
由于a和b都是大于0的正数,所以它们的乘积a^3 * b^3也必定是大于0的。
因此,当a>0并且b>0时,表达式(a^3 * b^3)的最小值就是0。
简而言之,所给表达式的最小值为0。