多元线性回归模型用matlab表示

假设我们有 $n$ 个样本，每个样本有 $m$ 个特征，其中第 $i$ 个样本的特征向量为 $\mathbf{x}_i=(x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{im})$，对应的标签为 $y_i$。多元线性回归模型可以表示为：

$$
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \cdots + \beta_m x_{im} + \epsilon_i
$$

其中，$\beta_0, \beta_1, \cdots, \beta_m$ 是模型的参数，$\epsilon_i$ 是误差项。

我们可以将上式写成矩阵形式：

$$
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\
1 & x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nm}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\beta_0 \\
\beta_1 \\
\vdots \\
\beta_m
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
\epsilon_1 \\
\epsilon_2 \\
\vdots \\
\epsilon_n
\end{bmatrix}
$$

其中，第一列是常数项，对应的参数为 $\beta_0$。矩阵形式更加方便进行计算和求解。

在 Matlab 中，可以使用“\”运算符求解线性方程组，代码如下：

% 假设有 n 个样本，每个样本有 m 个特征
% X 是 n x m 的矩阵，每行表示一个样本的特征向量
% y 是 n x 1 的列向量，表示每个样本的标签
% beta 是 (m+1) x 1 的列向量，表示模型的参数，其中第一个元素为常数项
% 使用“\”运算符求解多元线性回归模型
beta = [ones(n,1), X] \ y;

其中，`ones(n,1)` 表示大小为 $n \times 1$ 的全为 1 的矩阵，用于表示常数项。`X` 和 `y` 分别是样本的特征矩阵和标签向量，`beta` 则是求解得到的模型参数。