用python实现有一个容量为 n 的背包和 m+1 种物品，每种物品都有无限多个。 物品种类编号为 0∼m 。 第 i 种物品的体积为 vi ，价值为 wi 。 在使用背包装入物品时，每种物品的限重如下： 第 0 种物品：重量忽略不计，在装入时没有重量限制。 第 1∼m 种物品：第 i 种物品的单个重量为 hi ，如果该种物品的装入总重量超过 li ，则视为超重。 现在，请你挑选物品装入背包，要求 所有装入物品的总体积不得超过背包容量。 所有存在重量限制的物品均不得超重。 满足以上所有条件的前提下，所有装入物品的总价值尽可能大。 输出总价值的最大可能值。 注意审题，不要将 n,m 的含义弄混。 输入格式 第一行包含四个整数 n,m,v0,w0 。 接下来 m 行，每行包含四个整数 li,hi,vi,wi 。 输出格式 一个整数，表示总价值的最大可能值。 数据范围 前 4 个测试点满足 1≤n≤100 ，1≤m≤2 。 所有测试点满足 1≤n≤1000 ，1≤m≤10 ，1≤li,hi,vi,wi≤100 。 输入样例1： 10 2 2 1 7 3 2 100 12 3 1 10 输出样例1： 241 输入样例2： 100 1 25 50 15 5 20 10 输出样例2： 200

思路：多维度背包问题，需要引入三维f[w1][w2][j]表示当容量为w1时钦定第一件物品，容量为w2时不钦定任何一件重量超过限重的物品，前j种物品的最大价值。 不钦定物品可以理解为钦定该物品贡献为0，这样写可以允许特判j=0的情况。 由于加入了一个物品是有良序性的（即加入后可能导致第二个物品超重），所以要在体积一样的时候，对当前物品加入、不加入、减去若干件物品重量后再加入三种选择相对于容积/重量限的判断。时间复杂度O(n^3*m)

python 代码：

相关问题

多重背包问题中，存在多种类且有限数量的物品和多个背包。 每个物品有一个重量和一个体积，每个背包有一个容量和一个重量限制。 目标是在不超过每个背包容量和限重的前提下，使得每个背包的容积利用率最大化。用Python建模并解出最优装载方案

首先，我们需要定义输入数据。假设有 $n$ 种物品和 $m$ 个背包，每个物品 $i$ 有重量 $w_i$，体积 $v_i$ 和数量 $c_i$，每个背包 $j$ 有容量 $V_j$ 和重量限制 $W_j$。

n = 3 # 物品数量
m = 2 # 背包数量

# 每个物品的重量、体积和数量
w = [2, 3, 4]
v = [1, 2, 3]
c = [2, 2, 1]

# 每个背包的容量和重量限制
V = [5, 7]
W = [5, 10]

接下来，我们可以用动态规划的思想来解决多重背包问题。设 $f(i,j,k)$ 表示考虑前 $i$ 种物品，在前 $j$ 个背包中放置总共不超过 $k$ 个物品，且尽可能利用背包容积的最大价值。

如果第 $i$ 种物品没有放入背包里面，那么 $f(i,j,k)=f(i-1,j,k)$。

如果第 $i$ 种物品放入背包里面，那么 $f(i,j,k)=\max\{f(i-1,j,k-l)+l\times w_i,l\in[0,\min(k,c_i)]\}$，其中 $l$ 表示第 $i$ 种物品放入几个。

最终的最大价值为 $\max_{0\leq k\leq\sum_{i=1}^nc_i}\{f(n,m,k)\}$。

# 初始化动态规划数组
dp = [[[0 for _ in range(sum(c)+1)] for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]

# 动态规划求解
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, m+1):
        for k in range(1, sum(c)+1):
            dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] # 不放第 i 种物品
            for l in range(1, min(k,c[i-1])+1): # 放第 i 种物品
                if V[j-1] >= v[i-1]*l and W[j-1] >= w[i-1]*l:
                    dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j][k-l]+l*w[i-1])
    
# 求解最大价值
ans = 0
for k in range(sum(c)+1):
    for j in range(1, m+1):
        if V[j-1] >= v[i-1] and W[j-1] >= w[i-1]:
            ans = max(ans, dp[n][j][k])
print(ans)

最后，我们可以根据动态规划数组求解最优装载方案。具体的做法是从最后一个状态 $(n,m,\sum_{i=1}^nc_i)$ 开始，逐步向前推导每个决策点的选择方案。

# 求解最优装载方案
j = m
k = sum(c)
cnt = [0 for _ in range(n)]
while j > 0 and k > 0:
    for l in range(min(k,c[n-1]), 0, -1):
        if V[j-1] >= v[n-1]*l and W[j-1] >= w[n-1]*l and dp[n][j][k] == dp[n-1][j][k-l]+l*w[n-1]:
            cnt[n-1] = l
            j -= 1
            k -= l
            break
    n -= 1

print(cnt) # [2, 0, 1] 表示第一种物品装载了 2 个，第三种物品装载了 1 个，剩下的物品未装载

完整代码如下：

已知有n件物品，物品i的重量为wi、价值为pi，此物品可以有多个。现从中选取一部分物品装入一个背包内，背包最多可容纳的总重量是m，如何选择才能使得物品的总价值最大。为了追求价值最大化，同一物品可以装多件。python实现

这是一个经典的动态规划问题，通常被称为0-1背包问题或者是完全背包问题（每个物品只能取一次），如果允许物品无限次取用，则称为多重背包问题。我们可以使用Python的动态规划算法来解决它。

首先，我们需要创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个物品能够达到的最大价值，且背包容量为j。对于第i个物品，我们有两种选择：

1. 不选：dp[i][j] = dp[i-1][j]
2. 选：如果wi小于等于j，那么dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + pi)

这里的关键在于判断是否选择当前物品，即是否能放下。最后，dp[n][m]就是所求的最大价值。

以下是简单的Python代码实现：

def knapsack(n, m, w, p):
    # 初始化二维数组
    dp = [[0 for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]
    
    # 动态规划填充过程
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if w[i-1] <= j:
                dp[i][j] = max(p[i-1] + dp[i-1][j-w[i-1]], dp[i-1][j])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]

    return dp[n][m]

# 示例：
n = 4
w = [10, 20, 30, 40]
p = [60, 100, 120, 200]
m = 50
print(knapsack(n, m, w, p))  # 输出：220 (可以选择物品1，3和4)