给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100)，价值为vi(vi<=100)，背包的容量为c(c<=1000)。 应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两个选择：装入或不装入。不能将物品i装入多次，也不能只装入部分物品i。

### 回答1：
这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划算法来解决。

定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选取总重量不超过j的物品的最大总价值。

状态转移方程为：

当j<w[i]时，dp[i][j] = dp[i-1][j]，即当前背包容量装不下，只能选择不装入背包。

当j>=w[i]时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，即可以选择不装入物品i，此时总价值为dp[i-1][j]；也可以选择装入物品i，此时总价值为dp[i-1][j-w[i]]+v[i]。

最终的答案即为dp[n][c]，表示在前n个物品中选取总重量不超过c的物品的最大总价值。

下面是Python代码实现：

n = int(input()) # 物品数量
w = [0] * (n+1) # 物品重量
v = [0] * (n+1) # 物品价值
for i in range(1, n+1):
    w[i], v[i] = map(int, input().split())
c = int(input()) # 背包容量

dp = [[0] * (c+1) for _ in range(n+1)]

for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, c+1):
        if j < w[i]:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
        else:
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

print(dp[n][c])

### 回答2：
经典的背包问题可以用动态规划算法来解决。我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示将前i个物品装进容量为j的背包中所能获得的最大价值。

当i=0时，也就是没有物品可选，背包中的价值为0；当j=0时，也就是背包容量为0，背包中的价值也为0。

根据题目中的条件，对于每一件物品i，我们只有两种选择：装入和不装入。如果不装入，背包中的价值就是前i-1个物品装入容量为j的背包所获得的最大价值，即dp[i-1][j]。如果装入，背包中的价值就是前i-1个物品装入容量为j-w[i]的背包所获得的最大价值再加上物品i的价值，即dp[i-1][j-w[i]]+v[i]。所以当j>=w[i]时，状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

否则只能选择不装入，状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i-1][j]

最终的答案就是dp[n][c]，也就是前n个物品装入容量为c的背包所获得的最大价值。

时间复杂度为O(nc)，空间复杂度也为O(nc)。针对空间复杂度比较高的情况，我们可以对状态转移方程进行优化，只用到了上一行的数据，所以可以使用滚动数组的方法来降低空间复杂度。

### 回答3：
01背包问题是动态规划中比较经典的问题。简单来说，对于每个物品，只有选或不选两种情况，因此叫做“01背包问题”。

设f[i][j]为前i个物品恰好放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值，则其状态转移方程为：

f[i][j] = max{f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i]}

其中，f[i-1][j]表示不放第i个物品，f[i-1][j-w[i]]+v[i]表示放第i个物品。

根据上述方程，可以用二维数组实现动态规划过程，时间复杂度为O(n*c)。

如果将二维数组优化为一维数组，则可以将空间复杂度优化为O(c)，时间复杂度仍然为O(n*c)。

另外，如果题目给出的物品重量和价值比较大，可以使用滚动数组来减少空间使用。将二维数组f[i][j]滚动为一维数组f[j]，空间复杂度可减少为O(c)。

具体步骤可参考下方代码实现：

int dp[1005];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=c;j>=w[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
cout<<dp[c]<<endl;

最终输出dp[c]即为最大价值。