给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为c。问应如何选择

给定n种物品和一个背包，每种物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为c。我们需要选择哪些物品放入背包，以便背包中物品的总价值最大。

解决这个问题可以使用动态规划的方法。我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在背包容量为j的情况下，前i种物品的最大总价值。

我们可以通过以下步骤来填充dp数组：
1. 初始化dp数组为0.
2. 从第1种物品开始遍历到第n种物品：
- 对于每一种物品i，遍历背包容量从1到c：
- 如果wi > j，则物品i无法放入背包中，dp[i][j]等于dp[i-1][j].
- 否则，比较物品i放入背包和不放入背包的情况：
- 如果将物品i放入背包，总价值为dp[i-1][j-wi] + vi.
- 如果不放入物品i，总价值为dp[i-1][j].
- 选择其中较大的总价值作为dp[i][j]的值。
3. 返回dp[n][c]作为结果，即表示在背包容量为c的情况下，前n种物品的最大总价值。

这样，我们可以得到最优解。这个算法的时间复杂度是O(n*c)，其中n是物品的数量，c是背包的容量。

相关问题

用c语言写出给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。

定义一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品，背包容量为j时，可以获得的最大价值。

初始化：dp[0][j]=0（当没有物品可选时，无论背包容量为多少，都只能获得价值为0）；dp[i][0]=0（当背包容量为0时，无论有多少物品可选，也只能获得价值为0）。

状态转移方程：

当第i个物品重量大于背包容量j时，dp[i][j] = dp[i-1][j]，即第i个物品无法放入背包中，所以最大价值等于前i-1个物品的最大价值。

当第i个物品重量小于等于背包容量j时，可以选择将第i个物品放入背包中或者不放入背包中。如果选择放入背包中，最大价值为dp[i-1][j-wi]+vi，即前i-1个物品放入剩余容量为j-wi的背包中所获得的最大价值加上第i个物品的价值vi；如果选择不放入背包中，最大价值为dp[i-1][j]，即前i-1个物品放入容量为j的背包中所获得的最大价值。所以dp[i][j]的最大值为这两种情况中的较大值。

最终的答案为dp[n][C]。

以下是用C语言实现的代码：

#include <stdio.h>
#define N 100    // 物品最大数量
#define C 1000   // 背包最大容量

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main() {
    int n, w[N], v[N], dp[N][C];
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
    }
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = 0;
    }
    for (int j = 0; j <= C; j++) {
        dp[0][j] = 0;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= C; j++) {
            if (w[i] > j) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[n][C]);
    return 0;
}

给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为c。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

### 回答1：
这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。我们可以使用一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选取若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。对于每一个物品i，我们有两种选择：放入背包中或不放入。如果我们选择放入第i个物品，则背包的容量会减少wi，总价值会增加vi，因此状态转移方程为dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)，如果我们选择不放入第i个物品，则背包的容量和总价值都不变，状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j]。最终的答案为dp[n][c]，即在前n个物品中选取若干个物品放入容量为c的背包中所能获得的最大价值。

### 回答2：
背包问题是最基本的动态规划问题之一。对于一个给定的背包容量以及一组物品，我们需要选择哪些物品放入背包中使得其总价值最大。

该问题可以用动态规划算法来进行求解。首先可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择重量不超过j的物品，其最大价值为dp[i][j]。则当我们在考虑第i个物品时，有两个选择：可以将其放入背包中，也可以不放入背包中。因此，可以得到状态转移方程如下：

当wi > j时，dp[i][j] = dp[i-1][j] //物品i不能放入背包中
当wi <= j时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+vi) //物品i可以放入背包中

其中max函数表示选择当前物品和不选择当前物品中，价值最大的一种情况。最终的答案即为dp[n][c]，表示前n个物品中选择重量不超过c的物品，其最大价值为dp[n][c]。

在求解过程中，可以使用滚动数组的方式来降低空间复杂度，只需要定义一个一维数组dp[j]，其中dp[j]表示容量为j时的最大价值即可。

总结一下，背包问题是一种基本的动态规划问题，可以用二维数组或者滚动数组来进行求解。通过定义合适的状态表示以及状态转移方程，可以高效地解决背包问题。

### 回答3：
这是一个经典的背包问题，可以通过动态规划求解。假设f(i,j)为在前i件物品中选择若干件放入容量为j的背包中所能取得的最大价值，则有：

1. 若第i件物品不放入背包中，则f(i,j)=f(i-1,j)；

2. 若第i件物品放入背包中，则f(i,j)=f(i-1,j-wi)+vi；

综合以上两种情况，f(i,j)=max{f(i-1,j),f(i-1,j-wi)+vi}。

因此，用一个二维数组dp[n+1][c+1]来保存所有子问题的最优解，其中dp[i][j]表示前i件物品在容量为j的背包中达到的最大价值。状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+vi)

最终答案为dp[n][c]，即在前n件物品中选择若干件放入容量为c的背包中所能取得的最大价值。

需要注意的是，以上算法的时间复杂度为O(nc)，当n和c较大时，可能会出现超时问题。可以通过优化空间复杂度，只用一个一维数组来保存部分子问题的最优解，或者采用优化算法，如分支界限法、贪心算法等来提高效率。