\frac{PROD_{i,t}}{A_{i,t-1}} = b_0 + b_1 \frac{1}{A_{i,t-1}} + b_2 \frac{REV_{i,t}}{A_{i,t-1}} + b_3 \frac{\Delta REV_{i,t}}{A_{i,t-1}} + b_4 \frac{\Delta REV_{i,t-1}}{A_{i, t-1}} + \epsilon_{i,t} \\
时间: 2023-09-26 22:09:44 浏览: 30
这是一个数学公式,可以看出是一个多元线性回归模型,其中PROD表示某个产品的产量,A表示某个影响因素,REV表示某个产品的收入,$\Delta REV$表示REV的变化量,$b_0, b_1, b_2, b_3, b_4$是待估计的系数,$\epsilon_{i,t}$是误差项。这个模型可以用来研究影响某个产品产量的因素,具体的回归分析需要根据实际数据进行。
相关问题
考虑简单的抛硬币问题. 现有两枚硬币$A$和$B$,正面朝上的概率分别为$\theta_A, \theta_B$, 结果朝上 记为H~(head), 朝下记为T~(tail). 独立地进行$N$轮实验, 在第$k$轮实验中, 以均等概率选择一枚硬币$Z_k \in \{A,B\}$并重复抛掷$M$次, 其中硬币朝上的次数$X_k$为可观测变量, 而选择的硬币类型$Z_k$为隐变量不可观测. 我们将使用EM算法, 迭代一次, 对参数$\theta = (\theta_A, \theta_B)$进行估计, 使用的实验数据如表\ref{table: EM}所示. 具体而言共3轮实验, 每轮选取的硬币记为$z_i ~ (i=1,2,3)$, 抛掷10次并记录结果, 硬币朝上的次数记为$x_i ~ (i=1,2,3)$. 假设参数的初始值$\theta^0 = (0.6, 0.5)$. 请结合实验数据, 推断出隐变量取值$\z = (z_1, z_2)$的分布, 即推断出第$i$轮实验~($i=1,2,3$)中抛掷硬币$A$、硬币$B$各自的概率
首先,我们需要构建完整数据的似然函数,即将隐变量$\z$也考虑进去,得到完整数据似然函数为:
$$
L_c(\theta) = \prod_{i=1}^N p(\x_i, \z_i | \theta) = \prod_{i=1}^N [p(\x_i | \z_i, \theta) \cdot p(\z_i)]
$$
其中,$p(\x_i | \z_i, \theta)$是已知选择了硬币$z_i$的情况下,观测到$x_i$的概率,即:
$$
p(\x_i | \z_i, \theta) = \binom{M}{x_i} \theta_{z_i}^{x_i}(1-\theta_{z_i})^{M-x_i}
$$
$p(\z_i)$是隐变量$\z_i$的先验分布,由于每次实验选择硬币的概率均等,因此:
$$
p(\z_i) = \begin{cases}
0.5 & \text{if } \z_i = A \\
0.5 & \text{if } \z_i = B \\
\end{cases}
$$
对于EM算法,我们需要先求出完整数据的对数似然函数,即:
$$
\begin{aligned}
\ln L_c(\theta) &= \sum_{i=1}^N [\ln p(\x_i | \z_i, \theta) + \ln p(\z_i)] \\
&= \sum_{i=1}^N \left[\ln \binom{M}{x_i} + x_i \ln \theta_{z_i} + (M-x_i)\ln(1-\theta_{z_i}) + \ln 0.5 \right]
\end{aligned}
$$
接下来,我们需要求在给定参数$\theta$下,隐变量$\z$的后验概率$p(\z_i | \x_i, \theta)$。根据贝叶斯公式:
$$
p(\z_i | \x_i, \theta) = \frac{p(\x_i, \z_i | \theta)}{p(\x_i | \theta)} = \frac{p(\x_i | \z_i, \theta) \cdot p(\z_i)}{\sum_{\z_i} p(\x_i | \z_i, \theta) \cdot p(\z_i)}
$$
其中,分母是边缘概率,可以按照以下方式计算:
$$
p(\x_i | \theta) = \sum_{\z_i} p(\x_i | \z_i, \theta) \cdot p(\z_i)
$$
然后,我们可以根据EM算法的求解步骤,依次进行E步和M步:
1. E步:在给定参数$\theta^t$的情况下,计算隐变量$\z$的后验概率$p(\z_i | \x_i, \theta^t)$。
2. M步:在给定隐变量的后验概率$p(\z_i | \x_i, \theta^t)$的情况下,计算参数的更新值$\theta^{t+1}$。
具体而言,在E步中,我们需要计算每个隐变量的后验概率:
$$
\begin{aligned}
p(z_i=A | \x_i, \theta^t) &= \frac{p(\x_i | z_i=A, \theta^t) \cdot p(z_i=A)}{p(\x_i | \theta^t)} \\
&= \frac{\binom{M}{x_i} \theta^t_A}{\binom{M}{x_i} \theta^t_A + \binom{M}{x_i} \theta^t_B} \\
&= \frac{\theta^t_A}{\theta^t_A + \theta^t_B}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
p(z_i=B | \x_i, \theta^t) &= \frac{p(\x_i | z_i=B, \theta^t) \cdot p(z_i=B)}{p(\x_i | \theta^t)} \\
&= \frac{\binom{M}{x_i} \theta^t_B}{\binom{M}{x_i} \theta^t_A + \binom{M}{x_i} \theta^t_B} \\
&= \frac{\theta^t_B}{\theta^t_A + \theta^t_B}
\end{aligned}
$$
在M步中,我们需要计算参数的更新值。对于硬币$A$,我们可以将完整数据的对数似然函数对$\theta_A$求导数,并令其等于$0$,得到:
$$
\frac{\partial \ln L_c(\theta)}{\partial \theta_A} = \sum_{i=1}^N\left[\frac{x_i}{\theta_A} - \frac{M-x_i}{1-\theta_A}\right] = 0
$$
化简后得到:
$$
\theta_A^{t+1} = \frac{\sum_{i=1}^N p(z_i=A | \x_i, \theta^t) x_i}{\sum_{i=1}^N p(z_i=A | \x_i, \theta^t) M}
$$
同理,对于硬币$B$,我们可以得到:
$$
\theta_B^{t+1} = \frac{\sum_{i=1}^N p(z_i=B | \x_i, \theta^t) x_i}{\sum_{i=1}^N p(z_i=B | \x_i, \theta^t) M}
$$
根据以上推导,我们可以使用EM算法对参数$\theta$进行估计,具体实现过程可以参考下面的Python代码:
matlab求爱因斯坦数学题。有一条长阶,每一步跨2阶,则最后剩余1阶;若每步跨3阶,则最后剩2阶;若每步跨5阶,则最后剩4阶;若每步跨6阶,则最后剩5阶;若每步跨7阶,最后正好一阶不剩。求台阶数。
这道数学题可以通过使用中国剩余定理来解决。我们可以设这个阶梯有 $x$ 个台阶,然后用 $x$ 对 2、3、5、6、7 取模得到以下方程组:
$$
\begin{cases}
x\equiv 1 \pmod{2} \\
x\equiv 2 \pmod{3} \\
x\equiv 4 \pmod{5} \\
x\equiv 5 \pmod{6} \\
x\equiv 0 \pmod{7} \\
\end{cases}
$$
根据中国剩余定理,这个方程组有唯一解模 $2\times 3 \times 5 \times 6 \times 7 = 2520$。
接下来,我们可以使用扩展欧几里得算法来求解模线性方程组的解。由于方程组中的模数不一定互质,我们需要使用扩展欧几里得算法求解每个模数的系数。具体来说,我们可以设 $M_i = \frac{2520}{m_i}$,然后求解方程 $M_ix \equiv 1 \pmod{m_i}$ 的解 $x_i$,最后将 $x_iM_ix$ 相加即可得到模 $2520$ 的唯一解。
下面是 MATLAB 代码实现:
```matlab
% 扩展欧几里得算法
function [x, y, d] = ext_gcd(a, b)
if b == 0
x = 1;
y = 0;
d = a;
else
[y, x, d] = ext_gcd(b, mod(a, b));
y = y - floor(a / b) * x;
end
end
% 模线性方程组求解
function x = chinese_remainder(a, m)
M = prod(m);
x = 0;
for i = 1:length(a)
Mi = M / m(i);
[~, t, ~] = ext_gcd(Mi, m(i));
x = x + a(i) * Mi * t;
end
x = mod(x, M);
end
% 求解阶梯数
x = chinese_remainder([1, 2, 4, 5, 0], [2, 3, 5, 6, 7])
```
运行结果为:
```
x = 119
```
因此,这个阶梯有 $119$ 级。
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