求将 � n划分为若干个正整数的和的方法数,正整数不计顺序
时间: 2024-05-24 13:11:21 浏览: 17
这是一个经典的动态规划问题。
定义 $dp[i][j]$ 表示将 $i$ 划分为若干个正整数的和,其中最大的数不超过 $j$ 的方案数。
边界条件为 $dp[0][j]=1$,$dp[i][0]=0$。
转移方程为:$$dp[i][j]=\begin{cases} dp[i][j-1]+dp[i-j][j] & j\leq i \\ dp[i][i-1] & j>i \end{cases}$$
解释一下转移方程。如果 $j>i$,那么最大的数不可能超过 $i$,所以 $dp[i][j]$ 的值和 $dp[i][i-1]$ 相同。
如果 $j\leq i$,那么可以分两种情况:
1.不包含 $j$ 这个数,则方案数为 $dp[i][j-1]$。
2.包含 $j$ 这个数,则需要将 $i-j$ 划分为若干个正整数的和,且最大的数不超过 $j$,方案数为 $dp[i-j][j]$。
将两种情况加起来即可得到 $dp[i][j]$ 的值。
最终答案为 $dp[n][n]$。
代码实现:
相关问题
整数划分问题递归算法的时间复杂度和空间复杂度
整数划分问题是将一个正整数n拆分成若干个正整数的和,其中拆分出的每个正整数都不超过n且顺序不同的拆分算作同一种拆分方法。递归算法可以用来解决这个问题,其时间复杂度和空间复杂度如下:
时间复杂度:
- 最坏情况下,整数n可以拆分成n个1,递归树的高度为n-1,每个节点的分支数不超过n,因此时间复杂度为O(n^n)。
- 平均情况下,整数n的不同拆分个数是O(2^n)级别的,因此时间复杂度为O(2^n)。
空间复杂度:
- 递归树的深度为n-1,因此空间复杂度为O(n)。
- 递归栈中最多同时保存n个参数,因此空间复杂度为O(n)。
需要注意的是,由于整数划分问题的时间复杂度较高,当n比较大时,使用递归算法解决可能会导致运行时间过长。可以考虑使用动态规划等其他算法来解决该问题。
实现递归:整数划分问题
这段代码实现了整数划分问题,即将一个正整数n划分成若干个正整数之和的方案数。其中,函数f(n,m)返回n的m划分数。代码中使用了递归的方法,根据不同的情况进行判断和计算。
具体实现方法如下:
1. 当n或m为1时,只有一种划分,返回1。
2. 当m>n时,由于划分数与顺序无关,所以可以将m缩小到n,即返回f(n,n)。
3. 当m=n时,只有一种划分,即只有一个数n,返回1+f(n,m-1)。
4. 当m<n时,分为两种情况:
①:含m:则划分数中必须包含m,即n-m的m划分数,个数为f(n-m,m)。
②:不含m:则划分数所有值都要比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n,m-1)。因此,f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1)。