求解非齐次线性微分方程

非齐次线性微分方程的一般形式为:

$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$

其中 $p(x), q(x), f(x)$ 均为已知函数，$y$ 为未知函数。解这种微分方程的步骤如下：

1. 先求出相应齐次线性微分方程的通解 $y_h(x)$，即 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的解。

2. 再求出非齐次线性微分方程的一个特解 $y_p(x)$。

3. 非齐次线性微分方程的通解为 $y(x)=y_h(x)+y_p(x)$。

求非齐次线性微分方程的一个特解 $y_p(x)$ 的方法有常数变易法、待定系数法、常数变易法与待定系数法的组合方法等。

以下以常数变易法为例，介绍求解非齐次线性微分方程的步骤：

1. 假设特解为 $y_p(x)=A$，其中 $A$ 为待定常数。

2. 将 $y_p(x)=A$ 代入非齐次线性微分方程，得到 $0+p(x)\cdot 0+q(x)\cdot A=f(x)$。

3. 解出常数 $A$，即 $A=\frac{f(x)}{q(x)}$。

4. 非齐次线性微分方程的一个特解为 $y_p(x)=\frac{f(x)}{q(x)}$。

5. 根据步骤 1-4，可得非齐次线性微分方程的通解为 $y(x)=y_h(x)+\frac{f(x)}{q(x)}$。

其中 $y_h(x)$ 的求解方法与求解齐次线性微分方程的方法相同，这里不再赘述。