设G是2n阶无向简单图，且G的每个顶点至少与另外n个顶点相邻，证明G是连通图

首先，我们可以使用反证法来证明这个命题。假设G不是连通图，那么G可以被分为两个或更多个不相交的连通分量。假设这两个连通分量的大小分别为a和b，则n ≤ a, b ≤ 2n − n = n。因为每个顶点至少与另外n个顶点相邻，所以G中至少有a × n 条边和b × n 条边。因此，G中总共至少有an + bn 条边。

然而，G是2n阶无向简单图，所以它最多有n × (2n − 1) 条边。由于an + bn ≥ n × 2n，所以an + bn > n × (2n − 1)。这与G最多有n × (2n − 1) 条边矛盾。因此，假设不成立，即G是连通图。

因此，我们证明了G是连通图。

相关问题

harary图的判断标准

### 回答1：
Harary图是一个简单无向图，它的边数等于其顶点度数之和的一半，即$e=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}deg(v_i)$。因此，可以用以下方法判断一个无向图是否是Harary图：

1. 计算图中所有顶点的度数之和，记为$D$。
2. 统计图中所有奇度顶点的个数，记为$n_{odd}$。
3. 如果$D$是偶数且$n_{odd}$是偶数，则这个无向图是Harary图；否则不是。

简单来说，一个无向图是Harary图当且仅当它的边数是其顶点度数之和的一半，并且所有奇度顶点的个数是偶数。

### 回答2：
哈拉雷图是一种由弗兰克·哈拉雷于1962年提出的用于描述图的特殊性质的数学概念。它可以用于判断一个图是否是哈拉雷图，具体判断标准如下：

首先，哈拉雷图必须是简单图，即没有自环和重边。

其次，哈拉雷图必须是连通图，即图中任意两个顶点之间都存在路径。

然后，哈拉雷图必须是平面图，即可以在平面上进行绘制而不需要边交叉。

另外，哈拉雷图的每个顶点的度数（即与该顶点相邻的边的数目）都必须是偶数，即每个顶点都具有偶数个邻居。

而且，如果一个哈拉雷图有n个顶点，那么每个顶点的度数就必须是n - 2的倍数。

最后，对于哈拉雷图的任意两个顶点，至多存在一个简单路径将它们连接起来。

综上所述，哈拉雷图的判断标准包括简单图、连通图、平面图、每个顶点的度数为偶数、度数为n - 2的倍数以及最多存在一个简单路径将任意两个顶点连接起来等条件。只有当一个图同时满足这些条件时，才可以被判断为哈拉雷图。

### 回答3：
哈拉雷图是指由n个顶点和m条边组成的图形，它具有以下判断标准：

1. 无孤立点：哈拉雷图中不存在任何孤立点，即每个顶点至少与另外一个顶点相连。

2. 边数至少为3：哈拉雷图中每个顶点至少与其他两个顶点相连。这是因为哈拉雷图是由点与边构成的，每个顶点至少必须有两条边相连，否则无法构成哈拉雷图。

3. 任意两个顶点间存在路径：哈拉雷图中的任意两个顶点之间都存在路径，即可以通过若干条边连接起来。这是哈拉雷图与普通图的一个重要区别。

4. 任意两条边均不相交：哈拉雷图中的任意两条边都不会相交，即不会出现两条边在同一个顶点相交或者两条边在中间相交的情况。

5. 哈拉雷图的边数满足条件：哈拉雷图的边数满足公式：m = (2n-4) / 2，其中m表示边数，n表示顶点数。这个公式保证了哈拉雷图中边数和顶点数之间的关系。

总之，哈拉雷图的判断标准是：无孤立点、边数至少为3、任意两个顶点间存在路径、任意两条边均不相交，并且边数要满足特定的公式。