正态分布的累计分布函数

### 回答1：
正态分布的累计分布函数是指该分布的概率密度函数的积分。其表达式为：

F(x) = 1/2 * (1 + erf(x / sqrt(2)))

其中，erf(x) 是误差函数，sqrt(2) 是根号2。

正态分布的累计分布函数可以用来计算正态分布随机变量小于等于某个值的概率。

### 回答2：
正态分布的累计分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）描述了随机变量服从正态分布的概率。CDF给出了从负无穷到给定取值的累计概率。

具体而言，对于正态分布的随机变量X，其CDF可以表示为Φ(x)，其中x为给定取值。

正态分布的CDF可以通过积分正态概率密度函数（Probability Density Function, PDF）得到。正态分布的PDF表示为f(x)，可以用公式表示：

f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)^2) / (2σ^2))

其中μ是均值，σ是标准差，e是自然对数的底。

CDF描述了随机变量X小于或等于给定取值x的概率。CDF的公式可以用积分表示为：

Φ(x) = ∫(-∞, x) f(t) dt

CDF的性质有：
1. Φ(-∞) = 0，因为整个负无穷到正无穷的分布的概率是1。
2. Φ(∞) = 1，因为整个负无穷到正无穷的分布的概率是1。
3. CDF是单调递增函数，因为随着给定取值的增加，累计概率也会增加。
4. 区间概率可以通过CDF的差值计算，即P(a ≤ X ≤ b) = Φ(b) - Φ(a)。

正态分布的CDF在统计学中有广泛应用，可以用于计算置信区间、假设检验以及概率计算等。可以使用统计软件或查找正态分布表来计算特定值的CDF。

### 回答3：
正态分布的累计分布函数又被称为标准正态分布函数，用符号Φ(z)表示。在统计学中，正态分布是一个非常重要且常见的概率分布，它的曲线呈钟形，对称分布，并且可以通过两个参数来完全描述。累计分布函数则是用来描述随机变量的取值小于或等于某个给定数值的概率。

标准正态分布的累计分布函数Φ(z)可以被定义为：

Φ(z) = (1/2) * (1 + erf(z/√2))

其中，erf(z)是误差函数，而z是一个随机变量在标准正态分布中的某个特定取值。

标准正态分布的累计分布函数Φ(z)可以用来计算随机变量小于或等于某个特定值z的概率。例如，如果我们想要计算随机变量小于等于1的概率，我们可以使用累计分布函数Φ(1)来计算。同样地，我们也可以用累计分布函数来计算随机变量在两个特定值之间的概率。例如，我们可以计算随机变量在-1和1之间的概率。

累计分布函数Φ(z)的性质有以下几点：

1. 当z趋向于负无穷时，Φ(z)趋近于0；
2. 当z等于0时，Φ(z)等于0.5；
3. 当z趋向于正无穷时，Φ(z)趋近于1；
4. Φ(z)是一个单调非递减函数。

正态分布的累计分布函数Φ(z)在统计学和概率论中广泛应用，它的性质能够帮助我们计算和理解正态分布中的概率和置信区间。