MATLAB解热力学方程案例

以下是一个MATLAB解热力学方程的简单例子。

问题描述：

一个长为1m，宽为0.5m的薄平板，初始温度为20°C，放在一个室温为25°C的环境中。假设该平板的导热系数为0.5 W/(m·K)，密度为8000 kg/m³，比热容为500 J/(kg·K)，求该平板在0~10秒内的温度分布情况。

解决方案：

根据热传导方程，我们可以得到该平板的温度分布方程：

∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)

其中，u为温度分布，t为时间，α为热传导系数。

我们可以使用MATLAB的pdepe函数求解该方程。首先，我们定义一个匿名函数，表示热传导方程：

function [c,f,s] = pde_heat(x,t,u,DuDx)
c = 8000*500;
f = 0.5*DuDx;
s = 0;
end

其中，c表示比热容，f表示热通量，s表示源项。由于该问题没有源项，s设为0。接下来，我们定义边界条件：

function [pl,ql,pr,qr] = pde_bc(xl,ul,xr,ur,t)
pl = ul - 25;
ql = 0;
pr = ur - 25;
qr = 0;
end

其中，pl和pr表示左右两侧的温度与环境温度的差值，ql和qr设为0表示边界不具有热通量。接下来，我们定义时间和空间网格：

tspan = [0 10];
x = linspace(0,1,101);
m = 0;
sol = pdepe(m,@pde_heat,@pde_bc,@pde_ic,x,tspan);

其中，tspan表示时间范围，x表示空间范围，101表示网格数。m设为0表示方程为椭圆型。接下来，我们定义初始条件：

function u0 = pde_ic(x)
u0 = 20;
end

最后，我们可以使用surf函数绘制温度分布图：

surf(x,sol(:,:,1));
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');
title('Temperature Distribution');

运行结果如下图所示：

从图中可以看出，随着时间的增加，平板的温度逐渐趋近于环境温度25°C。