参考这个theorem q01: Q → Q := begin assume q, exact q, end，完成这个theorem q02: P → Q → P := begin sorry, end

要完成这个定理 `theorem q02: P → Q → P`，我们可以参考 `theorem q01` 的模式。给定的前提是 `P` 推导 `Q`，然后再次得出 `P`。因此，我们需要利用 `q` 的假设两次，一次是从 `P` 到 `Q`，第二次是从 `Q` 再次回到 `P`。以下是 `q02` 完整的证明：

begin
  -- Step 1: Assume P → Q
  assume hpq,

  -- Step 2: Assume Q (we'll use this from the premise)
  assume hq,

  -- Step 3: Apply the first assumption (P → Q) to Q
  have hp_from_q := hpq hq, 

  -- Step 4: Since Q implies P, we can now conclude P
  exact hp_from_q,
end

在这个证明中，我们首先假设 `P → Q`（hpq），接着假设 `Q`（hq）。然后通过 `hpq` 与 `hq` 应用第一次假设，得到 `P` （hp_from_q）。最后一步 `exact hp_from_q` 就是我们想要证明的 `P`。

相关问题

用lean 3且只使用assume, exact, apply, constructor, cases, left, right, have证明theorem q09 : (P → Q → R) → ((P → Q) → R)

在Lean 3中，我们使用依赖类型理论来证明定理。对于这个特定的命题 `q09`，它表明 `(P → Q → R)` 的函数可以推导出 `(P → Q)` 对于 `R` 的结果，即 `(P → Q) → R`。这里我们可以用假设 (`assume`) 来引入前提，然后通过逻辑推理和构造函数 (`constructor`, `cases`) 来逐步证明。

下面是一个简单的步骤演示如何使用 `assume`, `exact`, `apply`, 和 `cases` 完成这个证明：

open classical

variables {P Q R : Prop}  -- 公开变量以便在证明中使用

theorem q09 (h : P → Q → R) : (P → Q) → R
begin
  -- 假设有一个P到Q的函数h和另一个从P到Q的函数g
  assume g : P → Q,
  
  -- 使用constructor来应用h给定g
  exact h (g),  -- 这里我们直接应用h的性质，因为g的存在已经隐含了P到Q的路径
end

-- -- 相关问题 --
-- 1. Lean中的哪些其他逻辑命令有助于理解这个证明过程？
-- 2. 这种证明策略是否适用于所有形式的三元逻辑推理?
-- 3. 当h不是一个简单的函数而是复合函数时，如何调整这种证明方法？

请注意，实际的Lean 3代码可能会根据具体的上下文和库的需求有所不同。这个例子展示了基本的结构。

使用lean 3完成example : (P ∨ Q) → ¬Q → P :=

Lean 3 是一种基于 Lean Proof Assistant 的数学证明环境，它支持严格的数学推理和正式化。要在 Lean 中完成给定的逻辑推理 `(P ∨ Q) → ¬Q → P`，我们首先需要定义命题 `P` 和 `Q`，然后构造前提和结论，并最终证明它们之间的蕴含关系。

这是一个基本步骤的例子：

import tactic

/-- 定义两个命题 P 和 Q -/
def P : Prop := true
def Q : Prop := false  -- 或者你可以定义其他形式

/-- 命题 (P ∨ Q) -/
lemma P_or_Q : P ∨ Q :=
begin
  split,
  { exact P },   -- 证明 P 或 Q 的第一部分，这里是直接真
  { intro h, contradiction, -- 如果假设 Q，那么¬Q 就是真的，这与前提 ¬Q 矛盾
     exact absurd h not_not Q -- 通过 ¬Q 的否定得到 Q 的矛盾
  }
end

/-- 假设 ¬Q 推导出 P -/
lemma from_neg_Q_to_P (h : ¬Q) : P :=
begin
  cases P_or_Q with hp or_q, -- 分支处理 P 或 Q
  { exact hp },           -- 如果 P 已经确定，我们就得到了结果
  { exact hp, -- 因为 Q 被否定，所以推断出 P
    assumption }         -- 利用前提 ¬Q
end

/-- 总结整个论证 -/
theorem main_theorem : (P ∨ Q) → ¬Q → P := from_neg_Q_to_P

在这个例子中，我们首先证明了 `P ∨ Q`，然后假设 `¬Q` 并由此推出 `P`。最后，我们把这两个步骤组合成一个完整的定理。