请使用lean3 证明：(P ∨ Q ↔ P ∧ Q) ↔ (P ↔ Q) 请续写下面的代码begin constructor, assume ppqq, constructor, assume p,

在Lean 3中，我们可以使用自然演绎法（也称为谓词逻辑）来证明这个命题。首先，我们需要引入一些基本的逻辑符号和假设，并定义我们的构造函数。以下是继续的代码：

import classical
open classical

/-- 命题P ∨ Q 和 P ∧ Q 的等价性 -/
@[elab_as_eliminator] theorem or_iff_and (pp : Prop) (qq : Prop) :
  (pp ∨ qq ↔ pp ∧ qq) :=
begin
  constructor; -- 使用析取式I（implication introduction）
  intro h,
  split, -- 分别处理两个方向
    { exact and.intro pp h }, -- 如果pp∨qq为真，则pp也为真且qq也为h所保证
    { exact and.right _, -- 因为pp∨qq，所以肯定有一个是真的，即qq
      apply h },
  intros hpq,
  split, -- 同理，处理另一个方向
    { exact and.left _, -- 如果pp∧qq为真，那么pp肯定是真的
      assumption, -- 由于hpq，我们知道qq也是真的
      exact or.inl _ }, -- 或者pp为真，
    { apply or.inr _, -- 命题P和Q的等价性作为整体 -/
@[elab_as_eliminator] theorem p_if_q (p : Prop) (q : Prop) :
  (p ↔ q) ↔ (p ∨ q ↔ p ∧ q) := sorry, -- 这里留空，因为这只是前面定理的应用

-- 定义构造函数，用于假设P和Q之间的等价性
constructor,
assumption, -- 将P ↔ Q替换到等价式的左边
end.

-- 接下来需要填充"unsorry"部分，这通常是一个缺失的部分，表明Lean还需要进一步的证明

在这个例子中，`sorry`标记表示 Lean 需要用户手动完成缺失的证明步骤。实际上，在Lean中完成这个证明会涉及到递归地应用 `or_iff_and` 到 `p ↔ q` 上。