如何用lean3证明(P ∧ Q) ∧ R ↔ P ∧ (Q ∧ R)

在Lean 3 中，我们使用依赖类型系统（dependent type system）来进行形式化推理，包括逻辑推理。为了证明 `(P ∧ Q) ∧ R ↔ P ∧ (Q ∧ R)` 这个命题，我们可以按照自然演绎法（natural deduction）的步骤来构造证明：

首先，我们需要导入适当的库并定义我们的谓词 `∧`（逻辑与），通常Lean会内建这个操作符。假设我们已经定义了 `and` 和 `iff`（等价于）：

import tactic

open classical
abbreviation and := and₂
abbreviation iff := if_and_only_if

接下来，我们将尝试构建两个方向的证明：

**证明 (P ∧ Q) ∧ R → P ∧ (Q ∧ R)**

这一步，我们从左边的联言推出右边的联言：
1. 先假设 `(P ∧ Q) ∧ R`
2. 使用 `elim` 来消解 `and`，得到两个假设 `p : P` 和 `q : Q`，以及 `r : R`
3. 然后分别应用 `and.intro` 到 `p` 和 `q` 上，构造出 `p` 和 `q ∧ R`
4. 最后，使用 `and.intro` 结合 `p` 和 `q ∧ R`，得到 `P ∧ (Q ∧ R)`

**证明 P ∧ (Q ∧ R) → (P ∧ Q) ∧ R**

这是逆向的推理过程：
1. 假设 `P ∧ (Q ∧ R)`
2. 再次消解 `and` 得到 `p : P` 和 `qR : Q ∧ R`
3. 通过 `and.left` 和 `and.right` 分别抽取 `p` 和 `Q ∧ R` 的部分
4. 使用 `and.intro` 结合 `p` 和 `qR`，得到 `(P ∧ Q) ∧ R`

完成这两个证明后，你可以用 `exact` 或 `sorry`（留给 Lean 自动寻找证明路径）来表示每个方向的结束，并加上 `dec_trivial` 或 `refl` 来表明它们是明显的事实。

lemma my_proof : (P ∧ Q) ∧ R ↔ P ∧ (Q ∧ R) :=
begin
  split; [intro h, exact h],
  split; [intros h p qR, exact ⟨h.1, h.2.1⟩],
end

-- 或者如果你让Lean自动完成证明：
theorem my_proof :
  (P ∧ Q) ∧ R ↔ P ∧ (Q ∧ R)
| sorry
by {
  intros h,
  cases h with hp hqR,
  split;
    [cases hp, exact hqR],
  split;
    [intros hp qR, cases hqR with hqp _,
     exact ⟨hp, hqp⟩]
}

最后，记得添加相应的 `--` 行和相关问题来提问：