用lean 3且只使用assume, exact, apply, constructor, cases, left, right, have证明theorem q09 : (P → Q → R) → ((P → Q) → R)

在Lean 3中，我们使用依赖类型理论来证明定理。对于这个特定的命题 `q09`，它表明 `(P → Q → R)` 的函数可以推导出 `(P → Q)` 对于 `R` 的结果，即 `(P → Q) → R`。这里我们可以用假设 (`assume`) 来引入前提，然后通过逻辑推理和构造函数 (`constructor`, `cases`) 来逐步证明。

下面是一个简单的步骤演示如何使用 `assume`, `exact`, `apply`, 和 `cases` 完成这个证明：

open classical

variables {P Q R : Prop}  -- 公开变量以便在证明中使用

theorem q09 (h : P → Q → R) : (P → Q) → R
begin
  -- 假设有一个P到Q的函数h和另一个从P到Q的函数g
  assume g : P → Q,
  
  -- 使用constructor来应用h给定g
  exact h (g),  -- 这里我们直接应用h的性质，因为g的存在已经隐含了P到Q的路径
end

-- -- 相关问题 --
-- 1. Lean中的哪些其他逻辑命令有助于理解这个证明过程？
-- 2. 这种证明策略是否适用于所有形式的三元逻辑推理?
-- 3. 当h不是一个简单的函数而是复合函数时，如何调整这种证明方法？

请注意，实际的Lean 3代码可能会根据具体的上下文和库的需求有所不同。这个例子展示了基本的结构。

相关问题

参考这个theorem q01: Q → Q := begin assume q, exact q, end，完成这个theorem q02: P → Q → P := begin sorry, end

要完成这个定理 `theorem q02: P → Q → P`，我们可以参考 `theorem q01` 的模式。给定的前提是 `P` 推导 `Q`，然后再次得出 `P`。因此，我们需要利用 `q` 的假设两次，一次是从 `P` 到 `Q`，第二次是从 `Q` 再次回到 `P`。以下是 `q02` 完整的证明：

begin
  -- Step 1: Assume P → Q
  assume hpq,

  -- Step 2: Assume Q (we'll use this from the premise)
  assume hq,

  -- Step 3: Apply the first assumption (P → Q) to Q
  have hp_from_q := hpq hq, 

  -- Step 4: Since Q implies P, we can now conclude P
  exact hp_from_q,
end

在这个证明中，我们首先假设 `P → Q`（hpq），接着假设 `Q`（hq）。然后通过 `hpq` 与 `hq` 应用第一次假设，得到 `P` （hp_from_q）。最后一步 `exact hp_from_q` 就是我们想要证明的 `P`。

请使用lean3 证明：(P ∨ Q ↔ P ∧ Q) ↔ (P ↔ Q) 请续写下面的代码begin constructor, assume ppqq, constructor, assume p,

在Lean 3中，我们可以使用自然演绎法（也称为谓词逻辑）来证明这个命题。首先，我们需要引入一些基本的逻辑符号和假设，并定义我们的构造函数。以下是继续的代码：

import classical
open classical

/-- 命题P ∨ Q 和 P ∧ Q 的等价性 -/
@[elab_as_eliminator] theorem or_iff_and (pp : Prop) (qq : Prop) :
  (pp ∨ qq ↔ pp ∧ qq) :=
begin
  constructor; -- 使用析取式I（implication introduction）
  intro h,
  split, -- 分别处理两个方向
    { exact and.intro pp h }, -- 如果pp∨qq为真，则pp也为真且qq也为h所保证
    { exact and.right _, -- 因为pp∨qq，所以肯定有一个是真的，即qq
      apply h },
  intros hpq,
  split, -- 同理，处理另一个方向
    { exact and.left _, -- 如果pp∧qq为真，那么pp肯定是真的
      assumption, -- 由于hpq，我们知道qq也是真的
      exact or.inl _ }, -- 或者pp为真，
    { apply or.inr _, -- 命题P和Q的等价性作为整体 -/
@[elab_as_eliminator] theorem p_if_q (p : Prop) (q : Prop) :
  (p ↔ q) ↔ (p ∨ q ↔ p ∧ q) := sorry, -- 这里留空，因为这只是前面定理的应用

-- 定义构造函数，用于假设P和Q之间的等价性
constructor,
assumption, -- 将P ↔ Q替换到等价式的左边
end.

-- 接下来需要填充"unsorry"部分，这通常是一个缺失的部分，表明Lean还需要进一步的证明

在这个例子中，`sorry`标记表示 Lean 需要用户手动完成缺失的证明步骤。实际上，在Lean中完成这个证明会涉及到递归地应用 `or_iff_and` 到 `p ↔ q` 上。