(∃ x : A, true) → (∃ x: A, PP x → ∀ x : A,PP x) 如何用lean证明这个命题

这是一个关于存在量词和蕴涵的数学命题，它表达的是从A集中存在某个元素使得某性质(记作PP)成立，可以推断出对于集合A中的所有元素x，都有PP(x)。在Lean这样的依赖型类型理论系统中，我们通常会用λ演算和判断符来表示。

假设我们在Lean中有一个类型A和一个谓词PP:A -> Prop，我们可以用以下步骤来尝试证明这个命题：

1. 定义一个辅助命题H: Prop，表示存在一个x∈A使得PP(x)成立，即 `H := ∃ (x : A), PP x`。
2. 我们的目标是要证明 `∀ (x : A), PP x`，如果H为真，则意味着存在一个y满足PP(y)，我们想要通过归纳法或者构造法展示对所有x都成立。
3. 使用Lean的逻辑推理规则，比如存在量词消去法则(也叫"ex falso quodlibet")，我们知道如果能找到一个x，那么对任何其他x都成立。但是这一步需要具体的构造方法，例如找到一个x，并且通过PP的封闭性来证明对所有x都有效。

在Lean的 tactic 中，这可能会看起来像这样：

lemma my_proof (A : Type) (PP : A → Prop) :
  (∃ x : A, PP x) → (∀ x : A, PP x) :=
begin
  intro H,
  cases H with ⟨x, Px⟩, -- 从H中提取存在证明，得到特定x和其满足PP
  assume x', -- 对任意x'
  show PP x', -- 需要证明对于任意x' PP(x')也成立
  -- 这里可能需要进一步的逻辑或构造证明
end.

然后你需要提供具体的构造方法或证明步骤，这取决于PP的具体性质和A的结构。