用欧几里得算法求a=b*c+d（b为常数）里的乘法逆元，不要使用循环。用c语言实现

欧几里得算法实际上是用来找到两个整数的最大公约数（GCD），当我们需要计算乘法逆元时，实际上是在寻找模反元素。对于给定的整数 `b` 和 `d`，如果存在一个整数 `x` 使得 `(b * x) % d = 1`，那么 `x` 就是 `b` 对于模 `d` 的逆元。

这个过程可以通过扩展欧几里得算法来完成，它是一种非循环的方式，利用递归实现了求解。以下是C语言的一个非循环版本实现：

// 定义函数 gcd_extended 返回两个数的最大公约数及其系数
int gcd_extended(int a, int b, int* x, int* y) {
    if (b == 0) {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }
    int gcd = gcd_extended(b, a % b, y, x);
    *y -= a / b * *x;
    return gcd;
}

// 根据最大公约数，计算乘法逆元
int inverse(int a, int m) {
    int x, y;
    int gcd = gcd_extended(a, m, &x, &y);
    // 如果 a 和 m 不互质，那么它们没有乘法逆元
    if (gcd != 1)
        return -1;

    // 调整系数使其结果模 m 后等于 1
    return (x + m) % m;  // 取模是为了保证结果在 [0, m-1] 内
}

// 使用示例
int main() {
    int b = ...; // 常数 b
    int d = ...; // 需要找到逆元的数
    int inv = inverse(b, d);
    if (inv != -1)
        printf("The multiplicative inverse of b modulo d is %d.\n", inv);
    else
        printf("No inverse exists for b and d.\n");
    return 0;
}

这里假设输入的 `b` 和 `d` 有乘法逆元。如果没有，`inverse` 函数将返回 `-1`。