Hildreth二次规划算法

Hildreth算法是一种解决二次规划问题的算法，它是一种迭代算法，每次迭代都会求解一个线性规划问题。该算法的基本思想是将二次规划问题转化为一系列线性规划问题，通过不断迭代求解线性规划问题来逼近原问题的最优解。具体步骤如下：

1.将二次规划问题转化为等价的标准形式，即将目标函数和约束条件都写成矩阵形式。

2.初始化拉格朗日乘子向量λ和迭代次数k。

3.根据当前的λ值求解对偶问题，得到对偶问题的最优解λ*。

4.如果λ*满足KKT条件，则λ*为原问题的最优解，算法结束。

5.如果λ*不满足KKT条件，则更新λ为λ*，并增加迭代次数k，返回步骤3。

下面是一个使用Hildreth算法求解二次规划问题的Python代码示例：

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

def hildreth(Q, c, A, b, x0, max_iter=1000, eps=1e-6):
    n = Q.shape[0]
    x = x0
    lambda_ = np.zeros((n, 1))
    for k in range(max_iter):
        # 求解对偶问题
        A_t = np.concatenate((A, -A), axis=0)
        b_t = np.concatenate((b, -b), axis=0)
        c_t = np.concatenate((c + Q @ x, -(c + Q @ x)), axis=0)
        res = linprog(c_t, A_ub=A_t, b_ub=b_t)
        lambda_star = res.x[:n] - res.x[n:]
        # 判断是否满足KKT条件
        r = Q @ x + c + A.T @ lambda_star
        if np.linalg.norm(r) < eps:
            break
        # 更新x和lambda
        H = Q + A.T @ np.diag(lambda_) @ A
        g = -c - A.T @ lambda_
        dx = np.linalg.solve(H, g)
        dlambda = -np.diag(lambda_) @ A @ dx - np.linalg.inv(np.diag(lambda_)) @ r
        alpha = 1
        for i in range(n):
            if dlambda[i] < 0:
                alpha = min(alpha, -lambda_[i] / dlambda[i])
        x = x + alpha * dx
        lambda_ = lambda_ + alpha * dlambda
    return x

# 示例
Q = np.array([[2, 1], [1, 2]])
c = np.array([1, 1])
A = np.array([[1, 1], [-1, 2], [2, 1]])
b = np.array([2, 2, 3])
x0 = np.array([0, 0])
x = hildreth(Q, c, A, b, x0)
print(x)