正交变换中y是什么矩阵

在正交变换中，矩阵y表示旋转和反射变换。正交变换是指保持向量长度和角度不变的线性变换。

正交变换可以用一个正交矩阵进行表示，正交矩阵满足转置矩阵与逆矩阵相等的条件，也就是说正交矩阵乘以其转置矩阵等于单位矩阵。

对于二维空间中的正交变换，其矩阵形式为：

y = [ cosθ -sinθ]
[ sinθ cosθ ]

其中θ表示旋转的角度。

对于三维空间中的正交变换，其矩阵形式比较复杂，可以包含旋转、反射和镜像等运算。具体的矩阵形式取决于正交变换所涉及的具体操作。

总之，正交变换在坐标系变化和空间变换中起着重要作用，通过改变坐标系或者进行旋转、反射等操作，可以对向量、图像等进行变换和处理。

相关问题

可逆变换和正交变换的区别

可逆变换和正交变换都是线性变换的特殊情况。

可逆变换是指一个线性变换可以通过逆变换被撤销，即对于一个变换矩阵 A，存在一个逆变换矩阵 B，使得 AB = BA = I，其中 I 是单位矩阵。也就是说，对于任意向量 x，有 A(Bx) = (AB)x = x，因此逆变换可以将变换后的向量恢复到原来的向量。

正交变换是指一个线性变换不改变向量的长度和角度，即对于任意向量 x 和 y，它们的内积在变换前后保持不变，即 (Ax)·(Ay) = x·y，其中 · 表示向量的内积。也就是说，正交变换可以将向量旋转或镜像，但是不会改变向量的长度和夹角。

因此，可逆变换和正交变换的区别在于可逆变换可以将变换后的向量恢复到原来的向量，而正交变换只保持向量的长度和夹角不变。同时，正交变换是可逆变换的一种特殊情况。

已知二次型f=x1^2+x2^2+x3^2+2*a*x1*x2+2*x1*x2+2*x1*x3+2*b*x2*x3经过正交变换化为标准形f=y2^2+2*y3^2，求参数a,b及所用的正交变换矩阵．

首先，对于二次型 $f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_2+2x_1x_3+2bx_2x_3$，可以写成矩阵形式：
$$
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}
1+a & 1 & 1 \\
1 & 1 & b \\
1 & b & 1
\end{pmatrix}
$$
要将其化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2+2y_3^2$，需要进行正交变换。设正交变换矩阵为 $\boldsymbol{P}$，即 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Py}$，则原二次型可表示为 $f=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$，带入正交变换后可得：
$$
f=\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}
$$
为了使其化为标准形，需要求出 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$。我们分别来求解。

首先，求出 $\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$。由于正交变换的矩阵是正交矩阵，因此有 $\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{P}^T=\boldsymbol{I}$。将 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Py}$ 带入原式，可得：
$$
\begin{aligned}
f &= \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \\
&= \boldsymbol{y}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\boldsymbol{y} \\
&= y_1^2 + y_2^2 + (1+a)y_3^2 + (2a+2)y_1y_2 + 2(1+b)y_1y_3 + 2by_2y_3
\end{aligned}
$$
要将其化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2+2y_3^2$，需要令 $y_1, y_2, y_3$ 的系数分别为 $1, 1, 2$，即：
$$
\begin{cases}
1+a = 2 \\
2a+2 = 2 \\
2(1+b) = 0 \\
2b = 2
\end{cases}
$$
解得 $a=0, b=1$。

其次，求出正交变换矩阵 $\boldsymbol{P}$。由于 $\boldsymbol{P}$ 是正交矩阵，因此有 $\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{P}^T=\boldsymbol{I}$。根据上文的计算结果，可得：
$$
\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
可以通过将 $\boldsymbol{A}$ 相似对角化来求解 $\boldsymbol{P}$。具体地，设 $\boldsymbol{P}$ 的列向量为 $\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \boldsymbol{p}_3$，则有：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} &= \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} \\
&= \begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1^T \\
\boldsymbol{p}_2^T \\
\boldsymbol{p}_3^T
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
1 & a+1 & b+1 \\
a+1 & 1 & b \\
b+1 & b & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{p}_3
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
由于 $\boldsymbol{P}$ 是正交矩阵，因此有 $\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{P}^T$，代入上式可得：
$$
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1^T \\
\boldsymbol{p}_2^T \\
\boldsymbol{p}_3^T
\end{pmatrix}^T
\begin{pmatrix}
1 & a+1 & b+1 \\
a+1 & 1 & b \\
b+1 & b & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{p}_3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
解方程组可得：
$$
\begin{cases}
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_1 = 2 \\
\boldsymbol{p}_2^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_2 = 2 \\
\boldsymbol{p}_3^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_3 = 1 \\
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_2 = 0 \\
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_3 = 0 \\
\boldsymbol{p}_2^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}_3 = 0 \\
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{p}_1 = 1 \\
\boldsymbol{p}_2^T\boldsymbol{p}_2 = 1 \\
\boldsymbol{p}_3^T\boldsymbol{p}_3 = 1 \\
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{p}_2 = 0 \\
\boldsymbol{p}_1^T\boldsymbol{p}_3 = 0 \\
\boldsymbol{p}_2^T\boldsymbol{p}_3 = 0
\end{cases}
$$
由于 $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵，因此可以直接使用 Cholesky 分解求解上述方程组。具体来说，将 $\boldsymbol{A}$ 进行 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 $\boldsymbol{L}$，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{LL}^T$，然后令 $\boldsymbol{P}=\boldsymbol{L}^{-1}$ 即可。这里不再赘述求解过程，给出结果：
$$
\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

综上所述，参数 $a=0, b=1$，正交变换矩阵 $\boldsymbol{P}$ 为：
$$
\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$