随机向量通过正交变换前后的方差关系
时间: 2023-12-27 18:25:27 浏览: 131
假设有一个随机向量 $x$,通过正交变换 $U$ 变换为 $y=Ux$,其中 $U$ 是一个正交矩阵,即 $UU^T = U^TU = I$。
那么,$y$ 的协方差矩阵为:
$$
\begin{aligned}
\mathrm{Cov}(y) &= \mathrm{E}[(y-\mathrm{E}(y))(y-\mathrm{E}(y))^T] \\
&= \mathrm{E}[(Ux-\mathrm{E}(Ux))(Ux-\mathrm{E}(Ux))^T] \\
&= \mathrm{E}[U(x-\mathrm{E}(x))(x-\mathrm{E}(x))^TU^T] \\
&= U\mathrm{E}[(x-\mathrm{E}(x))(x-\mathrm{E}(x))^T]U^T \\
&= U\mathrm{Cov}(x)U^T
\end{aligned}
$$
其中 $\mathrm{E}(y) = U\mathrm{E}(x)$,$\mathrm{Cov}(x)$ 是 $x$ 的协方差矩阵。
由此可以看出,正交变换不会改变向量的协方差矩阵的特征值,只会改变特征向量的方向。因此,正交变换前后的方差关系保持不变,只是在不同的坐标系下表示。特别地,如果 $x$ 的协方差矩阵是对角阵,即 $x$ 各个分量之间不存在相关性,那么正交变换后的 $y$ 的各个分量之间也不存在相关性。