杨老师正在上《离散数学》课程的“数论”内容，讲授素数的知识。素数又称为质数。一个大于1的整数p是素数，当且仅当p只能被1和自身整除。很显然，2是最小的素数。他想设计一个程序，可以快速得到整数 a 以内（包含a）的素数的个数。

杨老师可以通过埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes)来设计一个计算整数范围内素数个数的程序。这个算法的基本思路是从2开始，将每个素数的倍数标记为合数，直到达到输入的整数a为止。剩下的未被标记的数字就是范围内的素数。

下面是Python实现的一个简单版本[^1]：

def count_primes(n):
    sieve = [True] * (n + 1)
    sieve[0], sieve[1] = False, False  # 0和1不是素数

    p = 2
    while p * p <= n:
        if sieve[p]:
            # 如果sieve[p]为真，说明p是素数
            for i in range(p * p, n + 1, p):  # 标记p的倍数为合数
                sieve[i] = False
        p += 1

    return sum(sieve)

# 示例
a = 20  # 求20以内的素数个数
prime_count = count_primes(a)
print(f"在{a}以内有 {prime_count} 个素数。")