ACM竞赛中的数论基础与素数算法

"本资源主要介绍了ACM竞赛中常见的数论问题，包括整除性质、素数和合数的概念，以及素数判定和求解算法。重点讲述了如何判断一个数是否为素数，并探讨了不同情况下优化素数查找算法的方法，如素数筛法。" 在ACM数论问题中，数论是一门基础且重要的领域，特别是在信息学竞赛和程序设计竞赛中经常被考察。首先，理解整除的概念至关重要。如果整数a不为0，存在整数c使得b可以表示为ac，那么我们说a整除b，记作ab∣。同时，整除具备以下基本性质： 1. 若ab∣且ac∣，则a∣(b+c)。 2. 若ab∣，则对所有整数c，abc∣。 3. 若ab∣且bc∣，则ac∣（传递性）。 素数和合数是数论中的核心概念。素数是只有1和其本身两个因子的正整数，而合数则是至少有三个因子的正整数。对于合数，如果n是合数，那么它必然存在一个小于或等于其平方根的因子。素数的判定通常有两种方法：朴素的试除法和优化后的试除法。朴素方法是从2开始尝试除以所有小于n的自然数，时间复杂度较高，为O(n)。优化后的算法只需检查不大于n1/2的因子，时间复杂度降为O(n1/2)。 算术基本定理指出，每个正整数都能唯一地分解为素数的乘积，素数因子按非递减顺序排列。最大公约数gcd(a, b)和最小公倍数lcm(a, b)之间有关系：ab=gcd(a, b)×lcm(a, b)，当gcd(a, b)=1时，a与b互素。 对于大量素数的求解，尤其是当n很大时，例如n=10,000,000，朴素算法效率低下。此时，我们可以采用素数筛法来提高效率。基本的素数筛法是创建一个足够大的布尔数组prime[]，初始将所有奇数标记为可能的素数，然后将所有奇数的倍数标记为非素数。改进的素数筛法则进一步优化，只存储奇数素数，节省空间。 通过这些基础知识和算法，参赛者可以在ACM竞赛中高效解决涉及数论的问题。掌握数论不仅能提升编程能力，还有助于解决实际问题，为未来的计算挑战做好准备。