雅可比矩阵的特征值怎么算

雅可比迭代法是一种常用的方法来计算矩阵的特征值和特征向量[^1]。下面是雅可比迭代法求解特征值和特征向量的步骤：

1. 初始化特征向量矩阵V为对角阵，即主对角线的元素都是1，其他元素为0。
2. 在矩阵S的非主对角线元素中，找到绝对值最大的元素Sij。
3. 计算旋转角度θ和旋转矩阵Gij：
- 计算tan(2θ) = 2 * Sij / (Si - Sj)，其中Si和Sj分别是S的第i行和第j列的元素。
- 计算cosθ和sinθ：cosθ = 1 / sqrt(1 + tan^2(2θ))，sinθ = tan(2θ) * cosθ。
- 计算旋转矩阵Gij：Gij是一个n×n的单位矩阵，将Gij的第i行第i列和第j行第j列的元素设置为cosθ，将第i行第j列的元素设置为sinθ，将第j行第i列的元素设置为-sinθ。
4. 更新矩阵S：S' = Gij^T * S * Gij，其中Gij^T是Gij的转置矩阵。
5. 更新特征向量矩阵V：V = V * Gij。
6. 如果矩阵S的非主对角线元素中的最大值小于给定的阈值e，则停止计算；否则，令S = S'，重复执行步骤2到步骤5。
7. 停止计算时，得到特征值li≈(S')ij，i,j=1,2,...,n，以及特征向量矩阵V。
8. 可选步骤：根据特征值的大小从大到小的顺序重新排列矩阵的特征值和特征向量。

以下是一个使用Python实现雅可比迭代法求解特征值和特征向量的示例代码：

import numpy as np

def jacobi_eigenvalue(S, e):
    n = S.shape
    V = np.eye(n)  # 初始化特征向量矩阵V为单位矩阵
    while True:
        max_off_diag = np.max(np.abs(S - np.diag(np.diag(S))))  # 计算非主对角线元素中的最大值
        if max_off_diag < e:
            break
        i, j = np.unravel_index(np.argmax(np.abs(S - np.diag(np.diag(S)))), S.shape)  # 找到最大元素的索引
        theta = np.arctan2(2 * S[i, j], S[i, i] - S[j, j]) / 2  # 计算旋转角度
        c = np.cos(theta)
        s = np.sin(theta)
        G = np.eye(n)
        G[i, i] = c
        G[j, j] = c
        G[i, j] = s
        G[j, i] = -s
        S = np.dot(np.dot(G.T, S), G)  # 更新矩阵S
        V = np.dot(V, G)  # 更新特征向量矩阵V
    eigenvalues = np.diag(S)  # 得到特征值
    eigenvectors = V.T  # 得到特征向量
    return eigenvalues, eigenvectors

# 示例用法
S = np.array([[4, -2, 2], [-2, 2, -4], [2, -4, 11]])
e = 1e-6
eigenvalues, eigenvectors = jacobi_eigenvalue(S, e)
print("Eigenvalues:", eigenvalues)
print("Eigenvectors:")
for i in range(len(eigenvalues)):
    print(eigenvectors[i])