python求定正太分布定积分

可以使用scipy库中的quad函数来求解定积分，其中quad函数的第一个参数为被积函数，第二个参数为积分下限，第三个参数为积分上限。以求解标准正态分布在区间[-1, 1]上的定积分为例，代码如下：

import scipy.stats
from scipy.integrate import quad

result, _ = quad(scipy.stats.norm().pdf, -1, 1)
print(result) # 输出：0.682689492137086

其中，scipy.stats.norm().pdf为标准正态分布的概率密度函数，quad函数返回的第一个值为积分结果，第二个值为误差估计值。

相关问题

正态分布积分计算合格率

### 使用编程方法进行正态分布积分计算来评估合格率

为了通过编程实现正态分布下的积分计算并用于评估合格率，可以采用数值积分的方法。Python中的`scipy.integrate.quad`函数提供了便捷的方式来进行一维定积分运算[^1]。

下面展示一段基于Python的代码片段，该代码实现了对于给定上下限范围内的正态分布概率密度函数(PDF)的积分求解：

from scipy.stats import norm
from scipy.integrate import quad
import numpy as np

def normal_distribution_integral(lower_bound, upper_bound, mean=0, std_deviation=1):
    """
    计算指定区间的正态分布累积概率
    
    参数:
        lower_bound (float): 下界
        upper_bound (float): 上界
        mean (float): 正态分布均值，默认为0
        std_deviation (float): 标准差，默认为1
        
    返回:
        float: 给定区间内正态分布的概率质量
    """

    result, _ = quad(lambda x: norm.pdf(x, loc=mean, scale=std_deviation), 
                     lower_bound,
                     upper_bound)

    return result


# 设定参数
lower_limit = -np.inf  # 如果没有下限，则设为负无穷大
upper_limit = 1.96     # 假设上限是我们感兴趣的点
mu = 0                 # 分布的期望值
sigma = 1              # 分布的标准偏差

probability_within_bounds = normal_distribution_integral(lower_limit, upper_limit, mu, sigma)
print(f'在[{lower_limit},{upper_limit}]范围内找到的产品比例约为 {probability_within_bounds:.2%}')

上述程序定义了一个名为`normal_distribution_integral()`的功能，它接受四个输入变量——两个边界值（即产品的规格界限），以及描述特定正态分布特性的均值和标准差。此功能利用SciPy库执行实际的积分操作，并返回所选区域内的累计概率作为输出结果。最后打印出来的百分比表示满足条件的比例，也就是所谓的“合格率”。

多元正态分布分布函数

### 多元正态分布的概率密度函数

多元正态分布是一种常见的多维连续型随机变量的分布，在许多实际应用中具有重要意义。其概率密度函数定义如下：

设 \(\mathbf{x}\) 是 \(d\) 维向量，则多元正态分布的概率密度函数可表示为:

\[
f(\mathbf{x}; \boldsymbol{\mu}, \Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}} e^{-\frac{1}{2} (\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^\top\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})}
\]

其中，\(\boldsymbol{\mu}\) 表示均值向量，而 \(\Sigma\) 则代表协方差矩阵[^1]。

#### 性质描述

- **标准化条件**：当输入空间中的所有点被积分时，总和等于 1。即满足标准的概率密度函数的要求。

- **对称性**：如果两个维度上的数据服从相同的单变量正态分布，并且它们之间没有任何线性关系（即零相关系数），那么这两个维度组成的二维平面内的图形将是圆形；如果有一定的线性关联度，则会呈现椭圆形状[^3]。

- **边际分布特性**：任何子集的边缘分布也是正态分布。具体来说，假设有一个 d 维的多元正态分布 X, 那么任意 k (<d) 个分量构成的新随机矢量仍然遵循多元正态分布规律[^2]。

- **条件分布特征**：给定一部分变量的情况下另一部分变量也保持为正态分布的形式不变。这意味着即使知道某些特定条件下其他未知因素如何变化，剩余未观测到的部分依旧按照原有的方式波动。

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

mean = [0, 0]
covariance_matrix = [[1, .8], [.8, 1]]
rv = multivariate_normal(mean=mean, cov=covariance_matrix)

# Generate a grid of points where we will evaluate the PDF.
x, y = np.mgrid[-3:3:.01, -3:3:.01]
pos = np.dstack((x, y))

# Evaluate the PDF at each point on our grid.
z = rv.pdf(pos)