机器学习最大似然分类算法

### 关于机器学习中的最大似然分类算法

#### 定义与原理
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种用于参数估计的方法，在给定数据集的情况下寻找使得模型最有可能产生该观测数据的参数值。对于分类问题而言，MLE通过最大化属于某一类别的概率来决定样本所属类别。

在具体实施过程中，假设有一个由多个特征组成的输入向量 \( \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots ,x_n)\)，以及对应的离散标签\( y\in {c_1,c_2,...,c_k}\)表示k个可能的目标类别之一，则可以定义条件概率分布函数\[ P(y|\mathbf{x};\theta)=f(\mathbf{x},y;\theta), \]其中θ代表待估参数。为了找到最佳拟合训练数据的最佳参数设置，目标是最小化负对数似然损失函数：

\[ L=-\sum _{i=1}^{N}{\log f({{\textbf {x}}_{(i)}},{y}_{(i)};{{\boldsymbol {\theta }}})}, \]

这里 N 表示总的样例数量[^1]。

#### 实现过程
下面给出Python语言下的简单实现方式，使用scikit-learn库来进行逻辑回归建模作为例子展示如何利用最大似然法完成二元分类任务:

from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import numpy as np

# 创建模拟数据集
X, Y = make_classification(n_samples=1000, n_features=20,
                           n_informative=2, n_redundant=10,
                           random_state=42)

# 划分训练集测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, Y, test_size=.3,random_state=42)

# 构造并训练逻辑回归模型 (默认采用的是最大似然方法)
clf = LogisticRegression().fit(X_train,y_train)

print("Training set score: {:.3f}".format(clf.score(X_train, y_train)))
print("Test set score: {:.3f}".format(clf.score(X_test, y_test)))

def log_likelihood(features,label,params):
    scores=np.dot(params.T,features).reshape(-1,1)
    predictions=1/(1+np.exp(-scores))
    ll=label*np.log(predictions)+(1-label)*np.log(1-predictions)
    return -ll.sum()

params=np.array([[-8],[-7]])
example_feature=X[:5].T
example_label=y_train[:5].reshape(-1,1)

print('Log-Likelihood:',log_likelihood(example_feature, example_label, params))

此代码片段展示了创建一个简单的线性可分离的数据集，并构建了一个基于最大似然原则优化权重系数w和偏置b值得到预测结果的概率模型——即逻辑斯谛回归(Logistic Regression)[^2]。