蓝桥杯 2021 省 b] 杨辉三角形

杨辉三角形是中国古代数学中的一种数表形式，也被称为“杨辉格”。它是的一个数字阵列，呈三角形的形状，由数字逐层排列而成。杨辉三角形最早出现在公元前2世纪的《九章算术》一书中。

杨辉三角形的构建规则很简单：每个数字是上方两个数字的和。首先，将两个数字1放在三角形的第一行两边；然后，从第二行开始，每个数字都是它上方两个数字之和。例如，第三行的数字是1 2 1，第四行的数字是1 3 3 1，以此类推。

杨辉三角形具有很多有趣的性质和应用。其中之一是，杨辉三角形中的数字可以提供二项式系数。也就是说，第n行的数字是二项式(x+y)^n展开的系数。

此外，杨辉三角形中的数字还具有对称性质。每一行都是以1开头和结尾，并且中间的数字是对称排列的。例如，第四行的数字1 3 3 1是对称的，第五行的数字1 4 6 4 1也是对称的。

杨辉三角形在数学中有广泛的应用，特别是在组合数学、概率论和代数中。它不仅能用于求解排列组合和二项式系数等问题，还可以用于计算概率分布和多项式展开。

总之，蓝桥杯 2021 省 b题涉及的杨辉三角形是一种特殊的数表形式，具有丰富的性质和应用。了解和理解杨辉三角形是提高数学水平和解决实际问题的重要一步。

相关问题

蓝桥杯Python组杨辉三角形

题目描述

杨辉三角形，是我国古代数学家杨辉在《详解九章算术》一书中所记载的。在这个三角形中，第一行只有一个数 1，以下每行的每个数，都是它左上方和右上方的两个数相加而成的。请输出第 n 行的数字。

输入格式:
输入只有一个正整数 n（1≤n≤30），表示要输出杨辉三角形的第 n 行。

输出格式:
输出一个列表，其中第 i 个元素表示第 n 行的第 i 个数的值。

样例输入：
4

样例输出：
[1, 3, 3, 1]

算法1

(暴力枚举) $O(n^2)$

直接根据杨辉三角的定义计算即可。

时间复杂度

暴力枚举，时间复杂度 $O(n^2)$。

Python 代码

n = int(input())
res = [1]
for i in range(1, n):
tmp = [1]
for j in range(1, i):
tmp.append(res[j-1] + res[j])
tmp.append(1)
res = tmp
print(res)

算法2

(线性递推) $O(n)$

根据杨辉三角的性质，第 n 行的第 i 个数可以表示为第 n - 1 行的第 i - 1 个数和第 i 个数的和，因此可以使用线性递推的方式计算。

时间复杂度

时间复杂度 $O(n)$。

Python 代码

n = int(input())
res = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i-1, 0, -1):
res[j] += res[j-1]
print(res)

蓝桥杯杨辉三角形c语言

蓝桥杯是中国最大的IT竞赛之一，每年都会吸引大量的学生参与。杨辉三角形是蓝桥杯中常见的题目之一，它是一个由数字构成的三角形，满足以下规律：
1. 第一行只有一个数字1。
2. 第二行有两个数字1。
3. 从第三行开始，每个数字都是它上方两个数字之和。

下面是一个用C语言实现杨辉三角形的示例代码：

#include <stdio.h>

int main() {
    int rows, coef = 1;

    printf("请输入要打印的行数：");
    scanf("%d", &rows);

    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int space = 1; space <= rows - i; space++) {
            printf("  ");
        }

        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            if (j == 0 || i == 0) {
                coef = 1;
            } else {
                coef = coef * (i - j + 1) / j;
            }

            printf("%4d", coef);
        }

        printf("\n");
    }

    return 0;
}

这段代码首先会让用户输入要打印的行数，然后使用两个嵌套的循环来打印杨辉三角形。外层循环控制行数，内层循环用来打印每一行的数字。在内层循环中，使用了组合公式来计算每个数字的值。