logistic回归原理推导

好的，我来简单介绍一下 logistic 回归的原理推导。

Logistic 回归是一种分类算法，它的目标是根据输入特征预测样本属于哪个类别。在二分类问题中，我们通常将样本分为正类和负类两种情况。Logistic 回归的核心思想是通过一个 Sigmoid 函数将输入特征映射到 0 到 1 的概率值，然后根据概率值进行分类。

具体来说，我们假设有 $m$ 个样本，每个样本有 $n$ 个特征，我们用 $x^{(i)}$ 表示第 $i$ 个样本的特征向量，用 $y^{(i)}$ 表示第 $i$ 个样本的标签（0 或 1）。我们的目标是学习一个函数 $h_{\theta}(x)$，使得对于任意输入特征 $x$，$h_{\theta}(x)$ 都能够预测出该样本属于正类的概率。

我们可以使用逻辑回归模型来实现这个目标。逻辑回归模型的形式如下：

$$h_{\theta}(x) = g(\theta^Tx) = \frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}$$

其中，$\theta$ 是模型参数，$g(z)$ 是 Sigmoid 函数，其定义为：

$$g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$$

我们的目标是最大化似然函数，即：

$$L(\theta) = \prod_{i=1}^m h_{\theta}(x^{(i)})^{y^{(i)}}(1-h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}$$

为了方便计算，我们通常使用对数似然函数：

$$l(\theta) = \log L(\theta) = \sum_{i=1}^m y^{(i)}\log h_{\theta}(x^{(i)}) + (1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))$$

我们的目标是最大化对数似然函数，即：

$$\max_{\theta} l(\theta)$$

我们可以使用梯度上升算法来求解最优参数 $\theta$。具体来说，我们需要计算对数似然函数的梯度：

$$\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta_j} = \sum_{i=1}^m (h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$$

然后根据梯度上升算法的更新公式更新参数 $\theta$：

$$\theta_j := \theta_j + \alpha \frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta_j}$$

其中，$\alpha$ 是学习率。