猴子吃桃问题递推法c++

猴子吃桃问题是经典的动态规划问题，通常用来演示递归算法如何转化为迭代过程。假设有一棵有n个桃子的树，一只猴子第一天吃了1个，以后每天它都会比前一天多吃一个，问这只猴子吃完所有桃子需要多少天？

递推法的C++解题思路通常是定义一个数组dp，其中dp[i]表示吃到第i个桃子所需的最小天数。递推公式可以这样表达：

- dp[0] = 0，因为第一天就吃了0个桃；
- 对于其他i (1到n)，如果能吃到第i个桃，则前一天一定吃到的是i-1个，所以dp[i] = dp[i-1] + 1。

以下是对应的C++代码实现：

#include <vector>

int minDays(int n) {
    std::vector<int> dp(n+1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (i >= 2) {
            dp[i] = dp[i-1] + 1;
        }
        // 找出前缀和等于i的最大值，即最短天数
        while (dp[i] > 0 && i - dp[i] >= 2) {
            dp[i] = dp[i - dp[i]];
        }
    }
    return dp[n];
}

在这个代码中，循环内有一个查找操作，用于找到从第i个桃开始到最后一颗桃，每天最多吃掉一个的情况下所需要的最少天数。

相关问题

猴子吃桃问题。猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。 第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。 到第N天早上想再吃时，见只剩下一个桃子了。求第一天共摘多少桃子。C++代码

这是一道经典的逆向思维题，可以使用递推或者数学归纳法来解决。

假设第一天摘了 x 个桃子，则根据题目要求可得：

第一天剩下的桃子数量为：$\frac{x}{2}-1$

第二天剩下的桃子数量为：$(\frac{x}{2}-1)\times\frac{1}{2}-1=\frac{x}{4}-\frac{3}{2}$

第三天剩下的桃子数量为：$(\frac{x}{4}-\frac{3}{2})\times\frac{1}{2}-1=\frac{x}{8}-\frac{7}{4}$

以此类推，第 $n$ 天剩下的桃子数量为：$\frac{x}{2^n}-\frac{2^n-1}{2^{n-1}}$

由题意可知，第 $n$ 天剩下的桃子数量为 1，则有：

$$\frac{x}{2^n}-\frac{2^n-1}{2^{n-1}}=1$$

化简可得：

$$x=2^{n+1}-n-2$$

因此，C++代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int x = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        x = 2 * (x + 1);
    }
    cout << x;
    return 0;
}