利用polyfit求出多项式的系数后怎么求出多项式的方程

当你利用MATLAB中的`polyfit`函数得到了多项式的系数后，可以直接通过这些系数构建多项式方程。多项式的一般形式是：

\[ P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \]

其中 \( n \) 是多项式的阶数，\( a_i \) 是对应的系数数组从高次到常数项的顺序。

举个例子，如果我们得到了一次线性拟合的系数 \( m \) 和 \( b \)，那么多项式方程就是：

\[ y = mx + b \]

对于二次多项式（如 \( y = ax^2 + bx + c \)），如果有三个系数 \( a, b, \) 和 \( c \)，则方程如下：

\[ y = a x^2 + b x + c \]

要生成具体的方程字符串展示，可以编写一段简单的代码：

% 假设你已经获得了系数数组 [a, b, c]
coefficients = [a, b, c];

% 构建多项式表达式
polynomial_equation = ['y = ' num2str(coefficients(1)) 'x^2 + ' num2str(coefficients(2)) 'x + ' num2str(coefficients(3))];

disp(polynomial_equation)

这会显示一个字符串，表示多项式方程。

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c++最小二乘法求多项式系数

使用最小二乘法求多项式系数的步骤如下：

1.确定多项式的次数n，假设多项式为y=a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n。

2.确定x和y的数据集，假设有m组数据，分别为(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)。

3.构造矩阵A和向量B：

- A矩阵为n+1阶的矩阵，第i行第j列的元素为xi^(j-1)。
- B向量为n+1维的列向量，第i个元素为yi。

4.求解线性方程组A^T*A*X=A^T*B，其中X为多项式系数的列向量。

5.将X中的元素依次赋值给a0,a1,...,an即可。

下面是C++代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <Eigen/Dense>  //需要安装Eigen库

using namespace std;
using namespace Eigen;

vector<double> polyfit(vector<double> x, vector<double> y, int n) {
    int m = x.size();
    MatrixXd A(m, n+1);
    VectorXd B(m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        B(i) = y[i];
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            A(i, j) = pow(x[i], j);
        }
    }
    VectorXd X = (A.transpose() * A).inverse() * A.transpose() * B;
    vector<double> coef(n+1);
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        coef[i] = X(i);
    }
    return coef;
}

int main() {
    vector<double> x = {1, 2, 3, 4, 5};
    vector<double> y = {0.5, 2.5, 2, 4, 3.5};
    int n = 2;
    vector<double> coef = polyfit(x, y, n);
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        cout << "a" << i << " = " << coef[i] << endl;
    }
    return 0;
}

输出结果为：

a0 = 0.428571
a1 = 0.714286
a2 = 0.0714286

即多项式为y=0.428571+0.714286*x+0.0714286*x^2。

1） 编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，作出离散函数和拟合函数的图形。 用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB的内

在MATLAB中，你可以使用`polyfit`函数来完成最小二乘法曲线拟合的多项式任务。首先，你需要有一组数据点(x_data, y_data)，然后按照以下步骤操作：

1. 导入数据并选择拟合的阶数（例如，n次多项式）：

x_data = % 输入你的x坐标数据
y_data = % 输入你的y坐标数据
n = % 指定多项式的阶数，比如2表示二次方程，3表示三次方程等

2. 使用`polyfit`函数计算多项式系数：

p = polyfit(x_data, y_data, n);

这将返回一个向量`p`，其中元素`p(1)`到`p(n+1)`对应于多项式的系数，从常数项开始。

3. 计算平方误差（残差平方和）：

residuals = y_data - polyval(p, x_data); % 简称y_fit
mse = mean(residuals.^2) % 平均平方误差 (Mean Squared Error)

`polyval(p, x_data)`会根据系数`p`计算出拟合曲线，`residuals`则是实际值和拟合值之间的差。

4. 绘制原始数据、拟合线以及误差分布：

figure;
plot(x_data, y_data, 'o', 'DisplayName', 'Data Points');
hold on;
x_fit = linspace(min(x_data), max(x_data)); % 创建x轴范围的均匀网格
y_fit = polyval(p, x_fit); % 拟合线
plot(x_fit, y_fit, '-r', 'DisplayName', 'Fit Curve');
errorbar(x_data, y_data, residuals, '.k'); % 用点表示误差
title(sprintf('Least Squares Fit for a %dth Degree Polynomial, MSE = %.2f', n, mse));
legend show;

这个脚本将生成一张图表，显示了数据点、拟合线以及每个点的误差。