树状数组区间查询区间修改

树状数组，也称为 Fenwick Tree 或 Binary Indexed Tree，是一种用于高效地支持区间查询和更新的数据结构。它主要用于解决范围询问问题，比如求某个区间的元素之和。基本思想是通过二进制操作将数组分为许多小范围，每个节点代表前缀和。

对于区间查询（`sum(a, b)`），你可以从根节点开始，然后依次向下加到`a-1`位置，接着跳过`b`这个节点（因为它的贡献已经被包含在前一个节点），最后返回结果即可。这通常能在线性时间内完成。

区间修改（`update(i, val)`）则相反，你需要从`i`的父节点开始一直加到`n`，每次加上新的值`val`。这种操作同样能在对数时间复杂度内完成。

使用树状数组的优势在于其简洁性和高效的计算性能，特别适合处理大量数据的区间统计问题。

相关问题

树状数组区间修改python代码

下面是实现树状数组区间修改的 Python 代码：

class FenwickTree:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.tree = [0] * (n + 1)

    def update(self, i, delta):
        while i <= self.n:
            self.tree[i] += delta
            i += i & -i

    def query(self, i):
        res = 0
        while i > 0:
            res += self.tree[i]
            i -= i & -i
        return res

    def range_update(self, l, r, delta):
        self.update(l, delta)
        self.update(r + 1, -delta)

    def point_query(self, i):
        return self.query(i)

其中，`range_update` 方法用于对区间 [l, r] 进行修改，delta 表示增加或减少的值。具体实现是将修改转化为两个单点修改，即将 l 处加上 delta，将 r+1 处减去 delta。`point_query` 方法用于查询某个位置的值。

例如，对于数组 a=[1,2,3,4,5]，可以这样使用树状数组区间修改：

tree = FenwickTree(5)

# 将 [2, 4] 区间加上 3
tree.range_update(2, 4, 3)

# 查询第 3 个位置的值
print(tree.point_query(3))  # 输出 5

树状数组的区间修改和区间查询

树状数组（Binary Indexed Tree，BIT）是一种数据结构，用于维护序列的前缀和。它可以支持单点修改和区间查询，但是不支持区间修改。不过可以通过巧妙的方式将区间修改转化为单点修改，从而实现区间修改。

区间修改：我们可以将区间修改转化为单点修改，具体方法是将区间修改拆成两次单点修改：先将区间左端点减一，再将区间右端点加一。这样的话，查询时只需要查询右端点的前缀和，再减去左端点的前缀和即可得到区间和。

区间查询：查询区间和可以通过前缀和相减得到。具体方法是查询右端点的前缀和，再减去左端点减一的前缀和即可得到区间和。

具体实现可以参考下面的代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

class BIT {
public:
    BIT(int n) : sums(n + 1) {}

    void update(int i, int delta) {
        while (i < sums.size()) {
            sums[i] += delta;
            i += lowbit(i);
        }
    }

    int query(int i) {
        int sum = 0;
        while (i > 0) {
            sum += sums[i];
            i -= lowbit(i);
        }
        return sum;
    }

private:
    vector<int> sums;

    int lowbit(int x) {
        return x & (-x);
    }
};

class RangeBIT {
public:
    RangeBIT(int n) : bit1(n), bit2(n) {}

    void update(int i, int j, int delta) {
        bit1.update(i, delta);
        bit1.update(j + 1, -delta);
        bit2.update(i, delta * (i - 1));
        bit2.update(j + 1, -delta * j);
    }

    int query(int i, int j) {
        return prefix_sum(j) - prefix_sum(i - 1);
    }

private:
    BIT bit1, bit2;

    int prefix_sum(int i) {
        return bit1.query(i) * i - bit2.query(i);
    }
};

注意，这里的 BIT 是用于维护前缀和的，而 RangeBIT 是用于维护区间和的。区间修改时，bit1 用于维护前缀和，bit2 用于维护前缀和乘以下标的和。查询时，先计算出区间的前缀和，再减去左端点减一的前缀和乘以左端点即可得到区间和。