layer norm 公式

层归一化（Layer Normalization，简称LN）是一种用于神经网络层的标准化技术，它通过对每个输入特征向量的均值和方差进行规范化来改善模型训练的稳定性。其公式一般表示为：

对于每一层的第 \(i\) 个元素 \(x_i\)，首先计算该元素的一阶统计量（均值 \(\mu\) 和标准差 \(\sigma\)），然后将元素缩放和平移得到归一化的输出 \(\hat{x}_i\)：

1. 计算均值 \(\mu_i = \frac{1}{H} \sum_{j=1}^{H} x_{ij}\)，其中 \(H\) 是输入向量的维度；
2. 计算标准差 \(\sigma_i = \sqrt{\frac{1}{H} \sum_{j=1}^{H} (x_{ij} - \mu_i)^2 + \epsilon}\)，\(\epsilon\) 是一个小的正数，通常设置为 \(10^{-5}\)，用于防止除以零；
3. 归一化后的输出为 \(\hat{x}_{ij} = \frac{x_{ij} - \mu_i}{\sigma_i}\)；
4. 最后应用斜率 \(\gamma\) 和偏置 \(\beta\) 进行缩放和平移，它们通常是学习的参数，即 \(\hat{x}_{ij} = \gamma_i \hat{x}_{ij} + \beta_i\)。

相关问题

LayerNorm数学公式

Layer Normalization (LayerNorm)是一种用于神经网络层间标准化的技术，它通过对每个输入特征向量（通常是隐藏单元或通道）进行均值和方差归一化来改善模型训练过程中的稳定性。其数学公式如下：

对于一个单个维度 \(d\) 的输入向量 \(x \in \mathbb{R}^{N \times d}\)，LayerNorm 首先计算该维度的均值 \(\mu_d\) 和标准差 \(\sigma_d\)：

\[
\mu_d = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_{i,d}
\]
\[
\sigma_d = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_{i,d} - \mu_d)^2 + \epsilon}
\]

其中 \(\epsilon\) 是一个小的正数，通常设置为 \(10^{-5}\)，防止除以零。

然后对原始输入 \(x\) 进行标准化操作：

\[
y_{i,d} = \frac{x_{i,d} - \mu_d}{\sigma_d}
\]

最后，通过学习的缩放因子 \(\gamma_d\) 和偏移因子 \(\beta_d\) 来调整标准化后的结果：

\[
\hat{x}_{i,d} = \gamma_d y_{i,d} + \beta_d
\]

这样，对于整个批次的输入，LayerNorm 返回的是经过标准化处理并加权后的输出 \(\hat{x}\)。

layernorm计算公式

LayerNorm的计算公式如下：

$$
\text{LayerNorm}(x_{1...n}) = \gamma \odot \frac{x_{1...n} - \mu}{\sigma + \epsilon} + \beta
$$

其中，

- $x_{1...n}$：输入向量，可以表示为一个$n$维向量。
- $\gamma$和$\beta$：可学习的参数向量，每个元素都是标量。它们的维度与$x_{1...n}$相同。
- $\mu$：输入向量$x_{1...n}$的均值，为一个标量。
- $\sigma$：输入向量$x_{1...n}$的标准差，为一个标量。
- $\epsilon$：一个非常小的数，用于防止分母为0。

$\odot$表示逐元素乘积。在计算过程中，我们首先计算输入向量的均值和标准差，然后用它们来标准化输入向量。最后，我们使用可学习的参数向量$\gamma$和$\beta$对标准化后的向量进行缩放和平移，以产生输出向量。