(2)如果有 n 个字符,其频率恰好分别对应前 n 个 Fibonacci 数,那么对应的 Huffman 树是什 么结构?请证明你的结论。
时间: 2024-02-19 08:59:09 浏览: 28
如果有 $n$ 个字符,其频率恰好分别对应前 $n$ 个 Fibonacci 数的话,那么对应的 Huffman 树是一个满二叉树,且每个节点的权值分别为斐波那契数列中的数。
我们可以通过数学归纳法来证明这个结论:
当 $n=2$ 时,对应的频率为 1 和 2,构造的 Huffman 树如下所示,是一个满二叉树,且每个节点的权值分别为斐波那契数列中的数。
```
3
/ \
1 2
```
假设当 $n=k$ 时,结论成立,即对于 $k$ 个字符,其频率恰好分别对应前 $k$ 个 Fibonacci 数,对应的 Huffman 树是一个满二叉树,且每个节点的权值分别为斐波那契数列中的数。
当 $n=k+1$ 时,我们需要证明对于 $k+1$ 个字符,其频率恰好分别对应前 $k+1$ 个 Fibonacci 数,对应的 Huffman 树也是一个满二叉树,且每个节点的权值分别为斐波那契数列中的数。
我们将权值最小的两个节点合并成一个新节点 $u$,权值为这两个节点的权值之和。由于这两个节点的频率分别为斐波那契数列中的相邻两个数,所以它们的权值之和也是斐波那契数列中的下一个数,即第 $k+2$ 个斐波那契数 $F_{k+2}$。
合并之后,我们得到了一个新的 Huffman 树,其根节点的权值为 $F_{k+2}$,左子树和右子树的权值分别为合并之前的两个节点的权值之和,即 $F_{k+1}$ 和 $F_k$。由于 $F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$,所以左右子树的权值分别为 $F_{k+2}-F_{k+1}=F_k$ 和 $F_{k+1}-F_k=F_{k-1}$。
根据归纳假设,左子树和右子树都是满二叉树,且每个节点的权值分别为斐波那契数列中的数。因此,合并之后的 Huffman 树也是一个满二叉树,且每个节点的权值分别为斐波那契数列中的数。
因此,对于任意 $n$ 个字符,如果它们的频率恰好分别对应前 $n$ 个 Fibonacci 数,那么对应的 Huffman 树是一个满二叉树,且每个节点的权值分别为斐波那契数列中的数,这个结论得证。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![txt](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083642.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)