对一棵平衡二叉树,所有非叶结点的平衡因子都是0,当且仅当该树是完全二叉树。
时间: 2023-04-18 07:00:30 浏览: 404
这个结论是正确的。平衡因子是指一个节点的左子树高度减去右子树高度的差,如果所有非叶节点的平衡因子都是,那么说明每个节点的左右子树高度相等。而完全二叉树的定义是除了最后一层外,其他层的节点数都是满的,最后一层的节点都靠左排列。这意味着完全二叉树的高度是最小的,而且最后一层的节点都是从左到右依次排列的,因此每个节点的左右子树高度也是相等的。因此,所有非叶节点的平衡因子都是的平衡二叉树,当且仅当它是完全二叉树。
相关问题
高度为 6 的平衡二叉树,除了叶节点每个平衡因子都是 1,共有几个结点
一个高度为 h 的平衡二叉树,其节点数 N 满足:N = 2^(h+1) - 1。因此,一个高度为 6 的平衡二叉树,共有 N = 2^(6+1) - 1 = 127 个结点。
由题可知,除了叶节点以外,每个节点的平衡因子都是 1。因此,对于非叶节点而言,其左右子树的高度相差不超过 1,即左右子树中的节点数相差不超过 1。又因为是平衡二叉树,所以各层的节点数也是相等的。
我们可以根据完全二叉树的性质来确定非叶节点的数量。因为这是一个平衡二叉树,所以它的最后一层只能是第 6 层,它的叶节点数为 2^6 = 64。因为每个非叶节点都有两个子节点,所以第 5 层的节点数为 32;同理,第 4 层的节点数为 16,第 3 层的节点数为 8,第 2 层的节点数为 4,第 1 层的节点数为 2。因此,非叶节点的数量为 1+2+4+8+16+32 = 63。
综上所述,高度为 6 的平衡二叉树,除了叶节点每个平衡因子都是 1,共有 127 个结点,其中非叶节点的数量为 63。
若存在一颗平衡二叉树 其所有非叶节点的平衡因子为1 节点总数为33 则该平衡二叉树的高度为多少
根据平衡二叉树的性质,对于任意节点,其左子树高度和右子树高度之差的绝对值不超过1。因此,对于任意非叶节点,它的左右子树高度之差不超过2。
如果该平衡二叉树的高度为h,则根节点的左右子树高度之差不超过2,即左子树高度和右子树高度均不小于(h-2)/2。
设左子树高度为L,右子树高度为R,则有:
L + R + 1 = 33 (节点总数为33)
|R - L| ≤ 2 (平衡因子为1)
将第二个条件拆开来看,有两种情况:
1. R - L = 1
此时,L + R = 32,解得 L = 15,R = 16。
因为左子树和右子树都是平衡二叉树,且高度相差不超过1,因此左子树和右子树的高度都为4。根节点的高度为5。
2. R - L = -1
与第一种情况类似,解得 L = 16,R = 15。根节点的高度也为5。
综上所述,该平衡二叉树的高度为5。
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