高度为 6 的平衡二叉树,除了叶节点每个平衡因子都是 1,共有几个结点
时间: 2024-03-29 12:39:33 浏览: 18
一个高度为 h 的平衡二叉树,其节点数 N 满足:N = 2^(h+1) - 1。因此,一个高度为 6 的平衡二叉树,共有 N = 2^(6+1) - 1 = 127 个结点。
由题可知,除了叶节点以外,每个节点的平衡因子都是 1。因此,对于非叶节点而言,其左右子树的高度相差不超过 1,即左右子树中的节点数相差不超过 1。又因为是平衡二叉树,所以各层的节点数也是相等的。
我们可以根据完全二叉树的性质来确定非叶节点的数量。因为这是一个平衡二叉树,所以它的最后一层只能是第 6 层,它的叶节点数为 2^6 = 64。因为每个非叶节点都有两个子节点,所以第 5 层的节点数为 32;同理,第 4 层的节点数为 16,第 3 层的节点数为 8,第 2 层的节点数为 4,第 1 层的节点数为 2。因此,非叶节点的数量为 1+2+4+8+16+32 = 63。
综上所述,高度为 6 的平衡二叉树,除了叶节点每个平衡因子都是 1,共有 127 个结点,其中非叶节点的数量为 63。
相关问题
对一棵平衡二叉树,所有非叶结点的平衡因子都是0,当且仅当该树是完全二叉树。
这个结论是正确的。平衡因子是指一个节点的左子树高度减去右子树高度的差,如果所有非叶节点的平衡因子都是,那么说明每个节点的左右子树高度相等。而完全二叉树的定义是除了最后一层外,其他层的节点数都是满的,最后一层的节点都靠左排列。这意味着完全二叉树的高度是最小的,而且最后一层的节点都是从左到右依次排列的,因此每个节点的左右子树高度也是相等的。因此,所有非叶节点的平衡因子都是的平衡二叉树,当且仅当它是完全二叉树。
一棵高度为h(h≥1)的完全二叉树至少有几个结点,为什么
一棵高度为h(h≥1)的完全二叉树至少有2^h-1个节点。
对于一棵完全二叉树,它的每一层都是满的,除了最后一层,最后一层的节点数可能不满,但是节点都靠左对齐。
因此,当高度为h时,前h-1层的节点数是满的,共有2^(h-1)-1个节点。最后一层的节点数至少为1,最多为2^(h-1)个节点。
因此,一棵高度为h的完全二叉树至少有2^(h-1)个节点,最多有2^h-1个节点。