给定一张n个点m条边的无向图,给边权赋一个1-m的排列,使得从1到n经过路径总长度的期望最小
时间: 2024-04-02 12:34:59 浏览: 21
这是一个经典的最小期望路径问题。可以使用网络流的方法来解决。
首先,对于每条边,我们需要将其边权转化为对应的二元组 (a_i, b_i),其中 a_i 和 b_i 分别表示这条边的两个端点在排列中的位置。然后,我们将每个点拆成入点和出点,将源点连接到每个入点,将每个出点连接到汇点。对于每个二元组 (a_i, b_i),我们在 a_i 的出点和 b_i 的入点之间连一条容量为 1,费用为 i 的边。
最后,我们在这个图上跑一遍最小费用最大流,求出的最小费用即为答案。
这个算法的正确性可以通过期望路径长度的线性性证明。具体来说,对于一条路径 (u, v),其期望长度为所有边的期望长度之和。而每条边的期望长度又可以表示为所有可能的排列中这条边的长度的平均值,即为 1/m。因此,对于一条路径 (u, v) 而言,其期望长度为该路径上所有边的费用之和除以 m^len,其中 len 表示路径长度。这恰好对应了最小费用最大流算法中的路径长度和费用之间的关系。
相关问题
一张n个点m条边的无向带权图,给定k个关键点,求一颗最小斯坦纳树。c语言实现
以下是基于Dijkstra算法的C语言实现:
```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#define INF 0x3f3f3f3f // 定义无穷大
int n, m, k; // 节点数、边数、关键点数
int key[10001]; // 关键点数组
int dis[10001][1 << 15]; // dis[i][j]表示从关键点j的状态到达i的最小距离
bool vis[10001][1 << 15]; // vis[i][j]表示从关键点j的状态到达i是否被访问
int map[10001][10001]; // 图的邻接矩阵
int min(int a, int b) {
return a < b ? a : b;
}
int dijkstra(int s) {
// 初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j < (1 << k); j++) {
dis[i][j] = INF;
vis[i][j] = false;
}
}
dis[s][1 << (k - 1)] = 0; // 起点到自身状态为111...1的距离为0
while (true) {
// 找到当前未访问的最小距离节点
int u = -1, min_dis = INF, status = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j < (1 << k); j++) {
if (!vis[i][j] && dis[i][j] < min_dis) {
u = i;
min_dis = dis[i][j];
status = j;
}
}
}
if (u == -1) break;
vis[u][status] = true;
// 更新未访问节点的距离
for (int v = 1; v <= n; v++) {
int new_status = status;
if (key[v]) new_status |= (1 << (key[v] - 1)); // 若节点v为关键点,则更新状态
dis[v][new_status] = min(dis[v][new_status], dis[u][status] + map[u][v]);
}
}
int ans = INF;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (i == s) continue;
if (key[i]) ans = min(ans, dis[i][(1 << k) - 1]); // 答案为状态为111...1的最小值
}
return ans;
}
int main() {
scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
for (int i = 1; i <= k; i++) {
scanf("%d", &key[i]);
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, w;
scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
map[u][v] = map[v][u] = w;
}
int ans = INF;
for (int i = 1; i <= k; i++) {
ans = min(ans, dijkstra(key[i])); // 对每个关键点进行Dijkstra算法
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
```
时间复杂度为$O(n^2 \times 2^k)$,其中$n$为节点数,$k$为关键点数。
给定一个n个顶点(1到n编号)的无向图,以及若干条边,请对其构造邻接矩阵。
好的,根据您的要求,我会为您构造邻接矩阵。
假设给定的无向图有n个顶点,那么我们可以用一个n × n的矩阵来表示它的邻接矩阵。对于每条边 (u, v),我们在矩阵的第u行第v列和第v行第u列上标记为1,表示这两个顶点之间有一条边。如果两个顶点之间没有边,则在对应的位置标记为0。
以下是构造邻接矩阵的示例代码(假设给定的边存储在一个列表中,每个元素为一个二元组(u, v)表示一条边):
```
n = 10 # 顶点数
edges = [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1), (2, 5), (3, 5), (4, 1)] # 边列表
adj_matrix = [[0] * n for _ in range(n)] # 初始化邻接矩阵为全0
for u, v in edges:
adj_matrix[u-1][v-1] = 1 # 标记边的两个端点
adj_matrix[v-1][u-1] = 1
print(adj_matrix) # 输出邻接矩阵
```
希望能帮到您!