2.已知100件产品中有8件正品，现从中任取一件，有放回地取5次，求在所取的5 件中恰有4件正品的概率，并求数学期望和方差。 用jupyter实现

这是一个典型的二项分布问题。由于每次抽取都是独立事件，且每次抽到正品的概率是恒定的，即0.08（8/100），我们可以通过二项分布的公式来计算。

对于第一次求概率，即在5次抽取中有4次正品的情况，概率 \( P(X=4) \) 可以用二项式系数和单次抽到正品概率的乘积表示：

\[ P(X=4) = C(5, 4) \times (0.08)^4 \times (1 - 0.08)^{5-4} \]

其中 \( C(n, k) \) 表示从n次抽取中取出k次的组合数，\( n=5 \)，\( k=4 \)。

接下来是数学期望（均值）\( E(X) \)，它是每次抽取中正品次数的期望，因为是独立同分布的，所以是样本容量乘以每次抽取正品的概率：

\[ E(X) = 5 \times 0.08 \]

方差 \( Var(X) \) 则需要用到二项分布的方差公式：

\[ Var(X) = n \times p \times (1-p) \]

其中 \( n=5 \)，\( p=0.08 \)。

以下是用Python Jupyter进行计算的简单步骤：

from math import comb

# 定义变量
p = 0.08
n = 5

# 计算概率
P_X_4 = comb(n, 4) * (p ** 4) * ((1 - 4))

# 计算期望
E_X = n * p

# 计算方差
Var_X = n * p * (1 - p)

# 打印结果
print(f"恰好取得4件正品的概率: {P_X_4}")
print(f"数学期望: {E_X}")
print(f"方差: {Var_X}")

# 使用`numpy`库可以更方便地计算组合数
import numpy as np
P_X_4_numpy = np.math.comb(n, 4) * p**4 * (1 - p)**(n - 4)
assert P_X_4 == round(P_X_4_numpy, 6), "两个计算结果不一致"