若矩阵所有特征值实部为正，并且存在虚部，那么该矩阵有界吗

不一定有界。矩阵的有界性与特征值无关，而与矩阵本身的元素有关。例如下面的矩阵：

$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 2i \\
-2i & 3
\end{pmatrix}
$$

它的特征值为 $1\pm2i$，实部都为正，但是矩阵本身并不是有界的，因为它的元素可以随意取值，例如取 $x_{11}=n,x_{12}=in,x_{21}=-in,x_{22}=n+1$，则 $||A||\geq|x_{11}|+|x_{12}|=n+1$，当 $n$ 趋向于正无穷时，$||A||$ 也趋向于正无穷，证明矩阵 $A$ 不是有界的。