用迭代法求解ax=b ①\begin{array}{c}A = \left[\begin{array}{cccc}0.3 \times 10^{-15} & 59.14 & 3 & 1 \\5.291 & -6.130 & -1 & 2 \\11.2 & 9 & 5 & 2 \\1 & 2 & 1 & 1\end{array}\right]\end{array}A=\left[\begin{array}{ccc}6 & 2 & -1 \\1 & 4 & -2 \\-3 & 1 & 4\end{array}\right],b_{1}=\left[\begin{array}{c}-3 \\2 \\4\end{array}\right],b_{2}=\left[\begin{array}{c}100 \\-200 \\345\end{array}\right] ②A=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\-7 & 1\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}4 \\-6\end{array}\right]。 (1)选取不同初值和不同的b,给定迭代误差用两种迭代法计算,观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论。 取定及b,将A的主对角线元素成倍放大,其他不变,用简单迭代法计算多次,比较收敛速度,分析计算结果并给出结论。 用c语言编写程序
时间: 2023-07-08 20:28:34 浏览: 144
好的,让我来解答你的问题。
对于第一个问题,迭代法求解ax=b,常见的有Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。它们的迭代公式分别为:
Jacobi迭代法:
$$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum_{j\neq i}a_{ij}x_j^{(k)})$$
Gauss-Seidel迭代法:
$$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)})$$
其中,$x_i^{(k+1)}$表示第$k+1$次迭代时$x_i$的值,$a_{ij}$表示系数矩阵$A$的第$i$行第$j$列的元素,$b_i$表示方程组右侧的常数向量的第$i$个元素,$n$表示方程组的阶数。
对于迭代误差,一般可以定义为相邻两次迭代解之差的二范数,即:
$$\epsilon^{(k)}=\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_2$$
其中,$\| \cdot \|_2$表示向量的二范数。
具体实现可以使用C语言编写程序,以下是一个Jacobi迭代法的示例代码:
```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define N 3 //方程组阶数
#define MAX_ITER 1000 //最大迭代次数
#define EPSILON 1e-6 //迭代误差
int main()
{
double A[N][N] = {{6,2,-1}, {1,4,-2}, {-3,1,4}}; //系数矩阵
double b[N] = {-3, 2, 4}; //常数向量
double x[N] = {0}; //初值
double x_new[N] = {0}; //迭代更新后的解
double epsilon = 0; //迭代误差
int iter = 0; //迭代次数
while(iter < MAX_ITER)
{
for(int i=0; i<N; i++)
{
double sum = 0;
for(int j=0; j<N; j++)
{
if(j == i) continue;
sum += A[i][j]*x[j];
}
x_new[i] = (b[i]-sum)/A[i][i];
}
epsilon = 0;
for(int i=0; i<N; i++)
{
epsilon += pow(x_new[i]-x[i], 2);
x[i] = x_new[i];
}
epsilon = sqrt(epsilon);
iter++;
if(epsilon < EPSILON) break;
}
printf("Solution:\n");
for(int i=0; i<N; i++)
printf("x[%d] = %lf\n", i, x[i]);
printf("Iterations: %d\n", iter);
printf("Error: %lf\n", epsilon);
return 0;
}
```
对于第二个问题,将$A$的主对角线元素成倍放大,其他不变,用简单迭代法计算多次,可以观察到迭代速度变慢,甚至可能会发散。这是因为简单迭代法的迭代矩阵为$B=D^{-1}(L+U)$,其中$D$为$A$的对角线矩阵,$L$和$U$分别为$A$的下三角部分和上三角部分,而$B$的谱半径$\rho(B)$越小,迭代速度就越快。当$A$的主对角线元素放大后,$B$的谱半径会变大,导致迭代速度变慢或发散。
希望我的回答能对您有所帮助。
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