实现方程组求解中的高斯消去法

高斯消元法是一种线性方程组求解的方法。其基本思想是通过消元操作将方程组转化为上三角矩阵，进而求解未知数。

假设有一个线性方程组：

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots +a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots +a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+ \cdots +a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases}$$

其中 $a_{ij}$ 和 $b_i$ 都是已知数，$x_i$ 是未知数。

高斯消元法的步骤如下：

1. 将方程组写成增广矩阵的形式：

$$\left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_n \end{array}\right]$$

2. 从第一行开始，对于每一行，将该行第一个非零元素所在的列作为主元素列，将主元素系数变为 $1$，并将该列下面的所有元素消为 $0$。

3. 重复步骤 2，对于每一行，将该行第一个非零元素所在的列作为主元素列，将主元素系数变为 $1$，并将该列下面的所有元素消为 $0$。

4. 经过 $n-1$ 轮操作后，增广矩阵变成了上三角矩阵的形式：

$$\left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ 0 & a_{22}^{(1)} & \cdots & a_{2n}^{(1)} & b_2^{(1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^{(n-2)} & b_n^{(n-2)} \\ \end{array}\right]$$

其中 $a_{ij}^{(k)}$ 表示第 $k$ 轮操作后第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$b_i^{(k)}$ 表示第 $k$ 轮操作后第 $i$ 行的常数项。

5. 从最后一行开始，依次求出每个未知数的值。例如，对于第 $n$ 个未知数 $x_n$，有：

$$x_n = \frac{b_n^{(n-2)}}{a_{nn}^{(n-2)}}$$

然后，将 $x_n$ 的值代入倒数第二行的方程中，求出 $x_{n-1}$ 的值：

$$x_{n-1} = \frac{b_{n-1}^{(n-3)}-a_{n-1,n}^{(n-3)}x_n}{a_{n-1,n-1}^{(n-3)}}$$

依次类推，求出所有未知数的值。

下面是 Python 代码实现：

def gauss_elimination(A, b):
    n = len(A)
    # 将增广矩阵写为列表的形式
    M = [[A[i][j] for j in range(n)] + [b[i]] for i in range(n)]
    # 消元操作
    for k in range(n-1):
        # 将第 k+1 行的主元素系数变为 1
        for j in range(k+1, n):
            factor = M[j][k] / M[k][k]
            for i in range(k, n+1):
                M[j][i] -= factor * M[k][i]
    # 回代求解未知数
    x = [0] * n
    for i in range(n-1, -1, -1):
        x[i] = M[i][n] / M[i][i]
        for j in range(i):
            M[j][n] -= M[j][i] * x[i]
    return x

该函数接受两个参数：系数矩阵 A 和常数向量 b。返回一个列表，表示方程组的解。