推导地面坐标系(惯性坐标系)到机体坐标系的旋转矩阵,旋转矩阵有哪些性质
时间: 2024-06-16 21:07:49 浏览: 23
推导地面坐标系(惯性坐标系)到机体坐标系的旋转矩阵可以通过欧拉角或四元数来实现。以下是使用欧拉角推导的方法:
假设地面坐标系为XYZ,机体坐标系为xyz。我们可以通过三个旋转角度(滚转角、俯仰角和偏航角)来描述地面坐标系到机体坐标系的旋转。
1. 滚转角(Roll):绕X轴旋转,用符号φ表示。
2. 俯仰角(Pitch):绕Y轴旋转,用符号θ表示。
3. 偏航角(Yaw):绕Z轴旋转,用符号ψ表示。
首先,我们将地面坐标系的单位向量表示为[xg, yg, zg],机体坐标系的单位向量表示为[xb, yb, zb]。
根据欧拉角的定义,我们可以得到以下旋转矩阵:
R = Rz(ψ) * Ry(θ) * Rx(φ)
其中,Rz(ψ)表示绕Z轴旋转的旋转矩阵,Ry(θ)表示绕Y轴旋转的旋转矩阵,Rx(φ)表示绕X轴旋转的旋转矩阵。
旋转矩阵的性质包括:
1. 正交性:旋转矩阵的转置等于其逆,即R^T = R^(-1)。
2. 行列式为1:旋转矩阵的行列式等于1,即|det(R)| = 1。
3. 保持向量长度:旋转矩阵作用于一个向量时,保持向量的长度不变。
4. 保持内积:旋转矩阵作用于两个向量时,保持向量之间的内积不变。
相关问题
偏航-俯仰-滚转,推导地面坐标系(惯性坐标系)到机体坐标系的旋转矩阵,旋转矩阵有哪些性质?
偏航-俯仰-滚转是描述飞行器姿态的一种常用方式。它是指飞行器绕三个轴线的旋转运动,分别是偏航轴(Yaw)、俯仰轴(Pitch)和滚转轴(Roll)。
推导地面坐标系(惯性坐标系)到机体坐标系的旋转矩阵可以使用欧拉角的方式进行。假设飞行器初始时刻与地面坐标系重合,然后依次绕偏航轴、俯仰轴和滚转轴旋转,得到机体坐标系。
旋转矩阵的推导如下:
1. 偏航角(Yaw):绕Z轴旋转,旋转矩阵为:
Rz = [cos(Yaw) -sin(Yaw) 0]
[sin(Yaw) cos(Yaw) 0]
[ 0 0 1]
2. 俯仰角(Pitch):绕Y轴旋转,旋转矩阵为:
Ry = [ cos(Pitch) 0 sin(Pitch)]
[ 0 1 0 ]
[-sin(Pitch) 0 cos(Pitch)]
3. 滚转角(Roll):绕X轴旋转,旋转矩阵为:
Rx = [1 0 0 ]
[0 cos(Roll) -sin(Roll)]
[0 sin(Roll) cos(Roll)]
将以上三个旋转矩阵相乘,得到地面坐标系到机体坐标系的旋转矩阵:
R = Rz * Ry * Rx
旋转矩阵的性质包括:
1. 正交性:旋转矩阵的转置等于其逆,即 R^T = R^(-1)。
2. 行列式为1:旋转矩阵的行列式等于1,即 det(R) = 1。
3. 保持向量长度:旋转矩阵作用于一个向量时,保持向量的长度不变。
4. 保持内积:旋转矩阵作用于两个向量时,保持向量之间的内积不变。
相机云台中像素坐标系到云台坐标系的推导过程
在相机云台系统中,像素坐标系(Pixel Coordinate System,PCS)通常指的是图像传感器上像素的位置,而云台坐标系(Tilt-and-Pan Coordinate System,TPCS)则表示云台的实际旋转和移动。从像素坐标系到云台坐标系的转换涉及几何变换和旋转矩阵,主要步骤如下:
1. **像素位置到图像中心**: 假设我们知道某个像素的偏移值(相对于图像中心的x,y),即`(u, v)`,这些坐标是相对于图像宽度和高度的比例。
2. **图像坐标系到世界坐标系**: 首先,将像素坐标`(u, v)`映射到图像所在的三维空间,这通常通过将像素值乘以相机的焦距(`f`)以及视场角(例如传感器角度`θ`)来实现。然后加上图像中心点的坐标`(0, 0, f)`。
3. **相机旋转和移动**: 然后应用云台的旋转矩阵(`R`)和位移向量(`t`)。相机的旋转由云台的俯仰角(`pitch`)、偏航角(`yaw`)和滚动角(`roll`)决定,形成旋转矩阵。位移向量则代表云台相对于其静止位置的移动。
4. **从世界坐标系到云台坐标系**: 将经过旋转和位移后的坐标应用到云台坐标系中,此时坐标已经反映了云台的实际姿态。注意,俯仰角和偏航角通常是围绕云台的竖直轴和水平轴进行的,而滚动可能会更复杂,可能会影响整个坐标转换。
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