推导地面坐标系（惯性坐标系）到机体坐标系的旋转矩阵，旋转矩阵有哪些性质

推导地面坐标系（惯性坐标系）到机体坐标系的旋转矩阵可以通过欧拉角或四元数来实现。以下是使用欧拉角推导的方法：

假设地面坐标系为XYZ，机体坐标系为xyz。我们可以通过三个旋转角度（滚转角、俯仰角和偏航角）来描述地面坐标系到机体坐标系的旋转。

1. 滚转角（Roll）：绕X轴旋转，用符号φ表示。
2. 俯仰角（Pitch）：绕Y轴旋转，用符号θ表示。
3. 偏航角（Yaw）：绕Z轴旋转，用符号ψ表示。

首先，我们将地面坐标系的单位向量表示为[xg, yg, zg]，机体坐标系的单位向量表示为[xb, yb, zb]。

根据欧拉角的定义，我们可以得到以下旋转矩阵：

R = Rz(ψ) * Ry(θ) * Rx(φ)

其中，Rz(ψ)表示绕Z轴旋转的旋转矩阵，Ry(θ)表示绕Y轴旋转的旋转矩阵，Rx(φ)表示绕X轴旋转的旋转矩阵。

旋转矩阵的性质包括：
1. 正交性：旋转矩阵的转置等于其逆，即R^T = R^(-1)。
2. 行列式为1：旋转矩阵的行列式等于1，即|det(R)| = 1。
3. 保持向量长度：旋转矩阵作用于一个向量时，保持向量的长度不变。
4. 保持内积：旋转矩阵作用于两个向量时，保持向量之间的内积不变。

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偏航-俯仰-滚转，推导地面坐标系（惯性坐标系）到机体坐标系的旋转矩阵，旋转矩阵有哪些性质？

偏航-俯仰-滚转是描述飞行器姿态的一种常用方式。它是指飞行器绕三个轴线的旋转运动，分别是偏航轴（Yaw）、俯仰轴（Pitch）和滚转轴（Roll）。

推导地面坐标系（惯性坐标系）到机体坐标系的旋转矩阵可以使用欧拉角的方式进行。假设飞行器初始时刻与地面坐标系重合，然后依次绕偏航轴、俯仰轴和滚转轴旋转，得到机体坐标系。

旋转矩阵的推导如下：
1. 偏航角（Yaw）：绕Z轴旋转，旋转矩阵为：
Rz = [cos(Yaw) -sin(Yaw) 0]
[sin(Yaw) cos(Yaw) 0]
[ 0 0 1]

2. 俯仰角（Pitch）：绕Y轴旋转，旋转矩阵为：
Ry = [ cos(Pitch) 0 sin(Pitch)]
[ 0 1 0 ]
[-sin(Pitch) 0 cos(Pitch)]

3. 滚转角（Roll）：绕X轴旋转，旋转矩阵为：
Rx = [1 0 0 ]
[0 cos(Roll) -sin(Roll)]
[0 sin(Roll) cos(Roll)]

将以上三个旋转矩阵相乘，得到地面坐标系到机体坐标系的旋转矩阵：
R = Rz * Ry * Rx

旋转矩阵的性质包括：
1. 正交性：旋转矩阵的转置等于其逆，即 R^T = R^(-1)。
2. 行列式为1：旋转矩阵的行列式等于1，即 det(R) = 1。
3. 保持向量长度：旋转矩阵作用于一个向量时，保持向量的长度不变。
4. 保持内积：旋转矩阵作用于两个向量时，保持向量之间的内积不变。

推导旋转坐标系下的速度梯度张量

### 旋转坐标系中的速度梯度张量

在处理流体动力学或固体力学问题时，特别是在涉及旋转系统的场景中，理解如何在旋转坐标系下计算速度梯度张量至关重要。为了实现这一点，首先需要考虑惯性坐标系与旋转坐标系之间的变换。

#### 惯性和旋转坐标系的关系

设有一个固定于空间的惯性坐标系 \(Oxyz\) 和一个相对于该惯性坐标系以恒定角速度 \(\Omega\) 绕某轴线转动的旋转坐标系 \(O'x'y'z'\)[^1]。对于任意时刻 t，在这两个坐标系之间存在如下位置矢量关系：

\[ \mathbf{r}(t)=\mathbf{T}\cdot\mathbf{r}'(t)+\mathbf{\omega}\times[\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}'](t)\]

其中，\(T\) 是描述两坐标系间定向差异的时间依赖正交矩阵；而 \(\mathbf{\omega}=|\Omega|*\hat{n}\) 表示瞬时角速度矢量，这里 \(\hat{n}\) 是单位长度的方向向量[^2]。

#### 速度表达式的转换

当物体位于旋转坐标系内运动时，其绝对速度可以分解成相对速度加上牵连速度的形式:

\[ \mathbf{v}_A(t)=\frac{d}{dt}\left[T\cdot\mathbf{r'}+\mathbf{\omega}\times(T\cdot\mathbf{r'})\right]= T\dot{\mathbf{r'}}+(T\cdot\mathbf{\omega})\times\mathbf{r'}+(\mathbf{\omega}\times T)\cdot\mathbf{r'}\]

注意到最后一项实际上就是科里奥利力的影响部分[^3]。

#### 速度梯度张量的构建

基于上述速度表达式，现在来探讨速度梯度张量的具体形式。考虑到速度场是一个矢量场函数，则速度梯度张量可通过对其各分量关于空间坐标的偏导数获得。具体来说，

\[ L_{ij}=\partial_j v_i = (\nabla_v)_j e_i\]

这里的 \(e_i\) 表示基底向量，而在旋转框架下，由于额外引入了时间依赖性的转置操作以及交叉乘积效应，因此最终的速度梯度张量会包含更多复杂的成分[^5]。

特别地，在极坐标系（作为特殊类型的旋转坐标系）情况下，如果采用柱坐标系 (ρ,φ,z)，那么速度梯度张量将涉及到对 ρ、φ 及 z 方向上相应速度分量的一阶偏微商，并且还需要计入因坐标系本身变动所带来的附加影响因子。

import numpy as np

def velocity_gradient_tensor(rho_dot, phi_dot, z_dot, omega):
    """
    Calculate the velocity gradient tensor in cylindrical coordinates.
    
    Parameters:
        rho_dot : float or array_like
            Radial component of velocity.
        phi_dot : float or array_like
            Azimuthal angular speed.
        z_dot   : float or array_like
            Vertical component of velocity.
        omega   : tuple(float)
            Angular frequency components along each axis.

    Returns:
        ndarray
            Velocity gradient tensor represented by a matrix.
    """

    # Initialize an empty 3x3 matrix to store results
    grad_V = np.zeros((3, 3))

    # Fill out non-zero elements based on given formulas and input parameters
    grad_V[0][0] = d_rho_dot_drho()      # ∂u_ρ/∂ρ
    grad_V[0][1] = d_rho_dot_dphi()/rho  # ∂u_ρ/∂φ / ρ
    grad_V[0][2] = d_rho_dot_dz()        # ∂u_ρ/∂z
    
    grad_V[1][0] = d_phi_dot_drho()*rho  # ∂u_φ/∂ρ * ρ
    grad_V[1][1] = d_phi_dot_dphi()     # ∂u_φ/∂φ
    grad_V[1][2] = d_phi_dot_dz()       # ∂u_φ/∂z
    
    grad_V[2][0] = d_z_dot_drho()       # ∂w/∂ρ
    grad_V[2][1] = d_z_dot_dphi()       # ∂w/∂φ
    grad_V[2][2] = d_z_dot_dz()         # ∂w/∂z

    return grad_V


# Placeholder functions representing partial derivatives; these should be defined according to specific problem conditions
def d_rho_dot_drho(): pass
def d_rho_dot_dphi(): pass
def d_rho_dot_dz(): pass
def d_phi_dot_drho(): pass
def d_phi_dot_dphi(): pass
def d_phi_dot_dz(): pass
def d_z_dot_drho(): pass
def d_z_dot_dphi(): pass
def d_z_dot_dz(): pass