如何用Householder变换将矩阵上三角化
时间: 2023-06-19 18:05:49 浏览: 96
在使用 Householder 变换将矩阵上三角化时,需要进行以下步骤:
1. 对于一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$,令 $Q_1$ 为一个 $m\times m$ 的 Householder 矩阵,使得 $Q_1 A$ 的第一列的下面的所有元素都为零。
2. 对于 $Q_1 A$ 的第二列及其右边的所有列,令 $Q_2$ 为一个 $m-1\times m-1$ 的 Householder 矩阵,使得 $Q_2 Q_1 A$ 的第二列下面的所有元素都为零。
3. 以此类推,对于 $Q_{n-1}\cdots Q_2 Q_1 A$ 的第 $n$ 列及其右边的所有列,令 $Q_n$ 为一个 $m-n+1\times m-n+1$ 的 Householder 矩阵,使得 $Q_n Q_{n-1}\cdots Q_2 Q_1 A$ 的第 $n$ 列下面的所有元素都为零。
4. 最终得到一个上三角矩阵 $R=Q_n Q_{n-1}\cdots Q_2 Q_1 A$,其中 $Q_n,\cdots,Q_2,Q_1$ 均为 Householder 矩阵。
需要注意的是,每个 Householder 矩阵的计算需要通过对某个向量进行变换得到,具体的计算方法可以参考相关文献或者在线资源。
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带 Wilkinson 位移的隐式对称 QR 算法求解对称矩阵特征值matlab代码,要求使用householder三对角化
以下是使用 Householder 三对角化和带 Wilkinson 位移的隐式对称 QR 算法求解对称矩阵特征值的 Matlab 代码:
```matlab
function [eigenvalues, eigenvectors] = symmQR(A, tol)
% A: n x n 对称矩阵
% tol: 容许误差
% eigenvalues: n x 1 特征值向量
% eigenvectors: n x n 特征向量矩阵
n = size(A, 1);
eigenvalues = diag(A); % 初始化特征值向量
eigenvectors = eye(n); % 初始化特征向量矩阵
while true
for i = 1:n-1
if abs(A(i+1,i)) < tol % 判断下对角线元素是否为零
continue
end
% 计算 Householder 变换矩阵
[v, beta] = house(A(i:i+1,i));
H = blkdiag(eye(i-1), v*v'/beta, eye(n-i-1));
% 对矩阵进行 Householder 三对角化
A = H * A * H;
eigenvectors = eigenvectors * H;
% 对带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法进行迭代
[mu, shift] = wilkinsonShift(A(n-1:n,n-1:n));
[Q, R] = qr(A - mu*eye(n));
A = R * Q + mu*eye(n);
% 更新特征值向量
eigenvalues(i:i+1) = A(i:i+1,i:i+1);
end
% 检查是否满足停止条件
if max(abs(tril(A,-1))) < tol
break
end
end
% 对特征向量矩阵进行正交化
for i = 1:n
for j = 1:i-1
eigenvectors(:,i) = eigenvectors(:,i) - (eigenvectors(:,i)'*eigenvectors(:,j)) * eigenvectors(:,j);
end
eigenvectors(:,i) = eigenvectors(:,i) / norm(eigenvectors(:,i));
end
end
function [v, beta] = house(x)
% 计算 Householder 变换矩阵
sigma = norm(x);
if x(1) >= 0
v1 = x(1) + sigma;
else
v1 = x(1) - sigma;
end
v = x / v1;
v(1) = 1;
beta = 2 / (v'*v);
end
function [mu, shift] = wilkinsonShift(A)
% 计算带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法中的位移参数
d = (A(1,1) - A(2,2)) / 2;
if d >= 0
mu = A(2,2) - A(2,1)^2 / (d + sqrt(d^2 + A(2,1)^2));
else
mu = A(2,2) - A(2,1)^2 / (d - sqrt(d^2 + A(2,1)^2));
end
shift = A(2,2) - mu;
end
```
其中 `house` 函数用于计算 Householder 变换矩阵,`wilkinsonShift` 函数用于计算带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法中的位移参数。函数返回特征值向量和特征向量矩阵。
采用Householder变换法的QR算法
QR算法是一种用来求解矩阵特征值和特征向量的迭代算法。其中一个经典的QR算法是采用Householder变换法进行QR分解的。
QR分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积,即A=QR。而Householder变换是一种线性变换,可以将一个向量映射为与某个坐标轴平行的向量。
QR算法的基本思想是通过不断地对矩阵进行QR分解,使得矩阵收敛到一个上三角矩阵。具体步骤如下:
1. 对初始矩阵A进行QR分解,得到A=QR。
2. 将R乘以Q的转置得到一个新的矩阵A1=RQ^T。
3. 对矩阵A1进行QR分解,得到A1=Q1R1。
4. 将R1乘以Q1的转置得到一个新的矩阵A2=R1Q1^T。
5. 重复以上步骤,直到矩阵A收敛到一个上三角矩阵T。
6. 上三角矩阵T的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
7. 对于每个特征值,可以通过逆幂迭代法求解对应的特征向量。
在QR分解中,Householder变换的作用是将矩阵的某一列向量化为与某个坐标轴平行的向量,从而简化QR分解的计算。具体来说,对于矩阵A中的第k列向量ak,可以通过Householder变换构造一个反射矩阵Hk,使得Hkak经过变换后只有第k个元素非零,即Hkak=[0,...,0,r],其中r为一个实数。
Householder变换的构造可以通过以下步骤进行:
1. 计算向量ak的范数||ak||。
2. 构造一个与ak同维度的向量vk=[0,...,0,ak[k]+sign(ak[k])||ak||],其中sign(ak[k])表示ak[k]的符号。
3. 计算反射矩阵Hk=I-2vv^T/||v||^2。
4. 对矩阵A进行变换,即A←HA,其中H为构造的反射矩阵。
通过不断地对矩阵进行Householder变换,可以将矩阵A化为上三角形式,从而实现QR分解。