采用Householder变换法的QR算法
时间: 2023-12-03 15:04:01 浏览: 57
QR算法是一种用来求解矩阵特征值和特征向量的迭代算法。其中一个经典的QR算法是采用Householder变换法进行QR分解的。
QR分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积,即A=QR。而Householder变换是一种线性变换,可以将一个向量映射为与某个坐标轴平行的向量。
QR算法的基本思想是通过不断地对矩阵进行QR分解,使得矩阵收敛到一个上三角矩阵。具体步骤如下:
1. 对初始矩阵A进行QR分解,得到A=QR。
2. 将R乘以Q的转置得到一个新的矩阵A1=RQ^T。
3. 对矩阵A1进行QR分解,得到A1=Q1R1。
4. 将R1乘以Q1的转置得到一个新的矩阵A2=R1Q1^T。
5. 重复以上步骤,直到矩阵A收敛到一个上三角矩阵T。
6. 上三角矩阵T的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
7. 对于每个特征值,可以通过逆幂迭代法求解对应的特征向量。
在QR分解中,Householder变换的作用是将矩阵的某一列向量化为与某个坐标轴平行的向量,从而简化QR分解的计算。具体来说,对于矩阵A中的第k列向量ak,可以通过Householder变换构造一个反射矩阵Hk,使得Hkak经过变换后只有第k个元素非零,即Hkak=[0,...,0,r],其中r为一个实数。
Householder变换的构造可以通过以下步骤进行:
1. 计算向量ak的范数||ak||。
2. 构造一个与ak同维度的向量vk=[0,...,0,ak[k]+sign(ak[k])||ak||],其中sign(ak[k])表示ak[k]的符号。
3. 计算反射矩阵Hk=I-2vv^T/||v||^2。
4. 对矩阵A进行变换,即A←HA,其中H为构造的反射矩阵。
通过不断地对矩阵进行Householder变换,可以将矩阵A化为上三角形式,从而实现QR分解。
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