利用Householder变化做方阵的QR分解

QR 分解是将一个矩阵分解为正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R 的乘积的过程。利用 Householder 变换可以实现方阵的 QR 分解。下面是一个基于 Householder 变换的 QR 分解算法的示例代码：

import numpy as np

def qr_householder(A):
    m, n = A.shape
    Q = np.eye(m)
    R = A.copy()

    for j in range(n):
        x = R[j:, j]
        normx = np.linalg.norm(x)
        s = -np.sign(x[0])
        v1 = x[0] - s * normx
        v = x / v1
        v[0] = 1

        R[j:, :] = R[j:, :] - 2 * np.outer(v, np.dot(v, R[j:, :]))
        Q[:, j:] = Q[:, j:] - 2 * np.outer(Q[:, j:], np.dot(v, Q[:, j:]))

    return Q, R

在这个算法中，我们首先初始化一个单位矩阵 Q 和一个与原始矩阵 A 相同的矩阵 R。然后对于矩阵的每一列 j，我们计算出 Householder 变换对应的向量 v，并使用该向量更新矩阵 R 和 Q。具体来说，我们使用向量 v 对矩阵 R 进行变换，将第 j 列以下的元素全部变为零，然后使用向量 v 对矩阵 Q 进行变换，将前 j 列的元素全部变为零。最后返回的是 Q 和 R。

需要注意的是，在实际应用中可能需要对算法进行优化，例如通过对矩阵 R 的部分列进行 Householder 变换来减少计算量。