为何MATLAB自带的qr.m算法会比householder qr快

MATLAB自带的QR分解算法qr.m是一种基于Householder变换的QR分解算法，但它在实现上采用了一些特殊的技巧，从而使得它的性能要比传统的Householder QR分解更快。其中一些技巧包括：

1. 采用分块技术：qr.m算法将大的QR分解问题分解成许多小的QR分解问题，然后逐个解决。这样做可以降低内存占用和计算复杂度，从而提高性能。

2. 原位计算：qr.m算法在计算过程中不会创建新的矩阵，而是直接在原始矩阵上进行计算。这样做可以避免内存分配和复制的开销，从而提高性能。

3. 多线程并行计算：qr.m算法可以利用多核CPU的并行计算能力，将QR分解问题分配到不同的CPU核心上进行计算，从而加速计算过程。

综上所述，MATLAB自带的qr.m算法采用了多种优化技术，使得它的性能要比传统的Householder QR分解更快。

相关问题

使用matlab进行基于householder变换的QR分解算法

好的，关于使用 MATLAB 进行基于 Householder 变换的 QR 分解算法，我可以给你一些指导。

首先，我们需要明确 QR 分解的定义。QR 分解是将一个矩阵 A 分解成一个正交矩阵 Q 与一个上三角矩阵 R 的乘积，即 A = QR。

而基于 Householder 变换的 QR 分解算法，就是利用一系列 Householder 变换将矩阵 A 转化为上三角矩阵 R 的过程。具体的步骤如下：

1. 对于一个 m×n 的矩阵 A，初始化 Q 为一个 m×m 的单位矩阵，初始化 R 为 A。

2. 对于每一列 j，从 j 开始，对 R 的第 j 列及其后面的所有列进行 Householder 变换，使得第 j 列下面的元素都变成 0。也就是说，我们需要找到一个 Householder 变换 Hj，使得 Hj*R 的第 j 列下面的元素都变成 0。

3. 将 Hj 乘以 Q，得到新的 Q，即 Q = Q*Hj。

4. 重复步骤 2 和 3，直到 R 变成一个上三角矩阵。

5. 最终得到的 Q 即为正交矩阵，R 即为上三角矩阵，满足 A = QR。

下面是 MATLAB 代码实现：

function [Q,R] = qr_householder(A)
% A: m x n 矩阵
% Q: m x m 正交矩阵
% R: n x n 上三角矩阵

[m,n] = size(A);
Q = eye(m);
R = A;

for j = 1:n
    % 计算 Householder 变换向量
    v = zeros(m,1);
    v(j:m) = R(j:m,j);
    v(j) = v(j) + sign(v(j)) * norm(v);
    v = v / norm(v);
    
    % 计算 Householder 变换矩阵
    Hj = eye(m) - 2*v*v';
    
    % 更新 R 和 Q
    R(j:m,j:n) = Hj * R(j:m,j:n);
    Q(:,j:m) = Q(:,j:m) * Hj;
end
end

需要注意的是，由于 MATLAB 中的矩阵下标从 1 开始，所以在代码实现中需要对下标进行相应的调整。

希望这些信息能够帮助到你。如果你还有其他问题，请随时问我。

生成基于Householder变换法的QR算法matlab代码

以下是基于Householder变换法的QR算法的Matlab代码：

function [Q,R] = qr_householder(A)
% Input: A - mxn matrix
% Output: Q - mxm orthogonal matrix
%         R - mxn upper triangular matrix 

[m,n] = size(A);
Q = eye(m); % Initialize Q as mxm identity matrix
for j = 1:n
    % Compute Householder reflection vector
    v = A(j:m,j);
    v(1) = v(1) + sign(v(1))*norm(v); % Choose a sign for numerical stability
    v = v/norm(v);
    % Apply Householder transformation to A and Q
    A(j:m,j:n) = A(j:m,j:n) - 2*v*(v'*A(j:m,j:n));
    Q(j:m,:) = Q(j:m,:) - 2*v*(v'*Q(j:m,:));
end
R = A; % The upper triangular matrix is now in A
Q = Q'; % Transpose Q to get the orthogonal matrix
end

该函数接受一个 $m \times n$ 的矩阵作为输入，并返回一个 $m \times m$ 的正交矩阵 $Q$ 和一个 $m \times n$ 的上三角矩阵 $R$，满足 $A = QR$。主要思路是通过 Householder 变换将矩阵 $A$ 转化为上三角矩阵 $R$，同时构造正交矩阵 $Q$，使得 $A=QR$。