QR分解(QR Decomposition)算法
时间: 2023-11-10 09:35:13 浏览: 30
QR分解是一种常用的矩阵分解方法,可以将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。这种分解在线性代数中有广泛的应用,例如求解线性方程组、最小二乘问题等。
具体地,假设$A$是一个$m\times n$的矩阵,其中$m\ge n$,则它可以被分解为$A=QR$,其中$Q$是一个$m\times m$的正交矩阵,即$Q^TQ=QQ^T=I$,$R$是一个$n\times n$的上三角矩阵。这个分解的求解可以通过Gram-Schmidt正交化算法、Householder变换或Givens旋转等方法来实现。
其中,Gram-Schmidt正交化算法是一种简单的方法,其基本思想是:对于$A$的每一列向量$a_1,a_2,\cdots,a_n$,逐个将它们正交化得到单位正交向量$q_1,q_2,\cdots,q_n$,然后构造正交矩阵$Q=[q_1,q_2,\cdots,q_n]$,使得$A=QR$。具体的正交化过程可以通过以下公式实现:
$$
\begin{aligned}
q_1&=\frac{a_1}{\|a_1\|}\\
q_2&=\frac{a_2-\operatorname{proj}_{q_1}a_2}{\|a_2-\operatorname{proj}_{q_1}a_2\|}\\
q_3&=\frac{a_3-\operatorname{proj}_{q_1}a_3-\operatorname{proj}_{q_2}a_3}{\|a_3-\operatorname{proj}_{q_1}a_3-\operatorname{proj}_{q_2}a_3\|}\\
&\cdots\\
q_n&=\frac{a_n-\sum_{i=1}^{n-1}\operatorname{proj}_{q_i}a_n}{\|a_n-\sum_{i=1}^{n-1}\operatorname{proj}_{q_i}a_n\|}
\end{aligned}
$$
其中,$\operatorname{proj}_{q_i}a_j$表示向量$a_j$在向量$q_i$上的投影。最终得到的矩阵$Q$是正交矩阵,$R$可以通过$R=Q^TA$得到。
需要注意的是,对于非满秩矩阵$A$,其QR分解仍然存在,但$R$的最后几行会全为0。此时可以通过舍去这些行来得到一个更紧凑的QR分解。