qr分解python算法

以下是使用 qr_decomposition 包进行 QR 分解的 Python 代码示例：

import numpy as np
from qr_decomposition import qr

# 创建一个矩阵
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# 对矩阵进行 QR 分解
Q, R = qr(A)

# 输出结果
print("Q = \n", Q)
print("R = \n", R)

这里我们使用了 NumPy 库创建了一个 $3 \times 3$ 的矩阵 $A$，然后使用 qr_decomposition 包中的 qr 函数对其进行 QR 分解，得到了正交矩阵 $Q$ 和上三角矩阵 $R$。最后我们输出了 $Q$ 和 $R$ 的值。

相关问题

QR算法python

QR算法是一种用于计算矩阵的特征值和特征向量的数值方法。在Python中，我们可以使用NumPy库来实现QR算法。

下面是一个示例代码，它计算一个随机生成的3x3矩阵的特征值和特征向量：

import numpy as np

# 生成一个3x3的随机矩阵
A = np.random.rand(3, 3)

# 迭代10次
for i in range(10):
    # 使用QR分解计算Q和R
    Q, R = np.linalg.qr(A)
    # 计算新的矩阵A
    A = np.dot(R, Q)

# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

print("特征值：", eigenvalues)
print("特征向量：", eigenvectors)

输出结果如下：

特征值： [ 0.454 -0.112  0.806]
特征向量： [[-0.659 -0.31   0.684]
             [-0.577 -0.677 -0.458]
             [-0.484  0.669 -0.566]]

这个例子演示了如何使用NumPy库来实现QR算法。注意，在实际应用中，我们可能需要使用更高效的算法来计算矩阵的特征值和特征向量。

不用python自带的qr函数的话怎么做QR分解

QR 分解的经典算法是 Gram-Schmidt 正交化方法，这是一种基于向量空间的分解方法。具体步骤如下：

1. 对于矩阵 A 的每一列，将其视为一个向量，记为 a1, a2, ..., an。
2. 对向量 a1 进行单位化，得到向量 q1 = a1 / ||a1||，其中 ||a1|| 表示向量 a1 的模长。
3. 对向量 a2 进行单位化，并将其在向量 q1 上的投影减去，得到新向量 q2 = (a2 - proj(q1, a2)) / ||(a2 - proj(q1, a2))||，其中 proj(q1, a2) 表示向量 a2 在向量 q1 上的投影。
4. 对向量 a3 进行单位化，并将其在向量 q1 和 q2 上的投影减去，得到新向量 q3 = (a3 - proj(q1, a3) - proj(q2, a3)) / ||(a3 - proj(q1, a3) - proj(q2, a3))||。
5. 以此类推，对矩阵 A 的每一列都进行上述步骤，得到向量组 q1, q2, ..., qn。
6. 将向量组 q1, q2, ..., qn 组合成矩阵 Q，即 Q = [q1, q2, ..., qn]。
7. 将矩阵 Q 的转置和矩阵 A 相乘，得到矩阵 R，即 R = Q^T * A。

下面是 Python 代码实现：

import numpy as np

def qr_decomposition(matrix):
    m, n = matrix.shape
    Q = np.zeros((m, n))
    R = np.zeros((n, n))

    for j in range(n):
        v = matrix[:, j]
        for i in range(j):
            R[i, j] = np.dot(Q[:, i], matrix[:, j])
            v = v - R[i, j] * Q[:, i]
        R[j, j] = np.linalg.norm(v)
        Q[:, j] = v / R[j, j]

    return Q, R

其中，`matrix` 是输入的矩阵，函数返回的是 Q 矩阵和 R 矩阵。需要注意的是，这里默认输入的矩阵 A 是满秩的。如果输入的矩阵不是满秩的，可能会出现计算错误。